Theorem hhshsslem2 9077

Description: Lemma for hhsssh 9078.

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhsst.2	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
hhssp3.3	|- W e. (SubSp` U)
hhssp3.4	|- H (_ H~

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem2	|- H e. SH

Proof of Theorem hhshsslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sh 9017	. 2 |- (H e. SH <-> ((H (_ H~ /\ 0h e. H) /\ (A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .h y) e. H)))
2		hhssp3.4	. . 3 |- H (_ H~
3		hhsst.1	. . . . . 6 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	hhnv 8971	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
5		hhssp3.3	. . . . 5 |- W e. (SubSp` U)
6	3	hh0v 8974	. . . . . 6 |- 0h = (0v` U)
7		eqid 1473	. . . . . 6 |- (0v` W) = (0v` W)
8		eqid 1473	. . . . . 6 |- (SubSp` U) = (SubSp` U)
9	6, 7, 8	sspz 8341	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) -> (0v` W) = 0h)
10	4, 5, 9	mp2an 696	. . . 4 |- (0v` W) = 0h
11	8	sspnv 8332	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) -> W e. NrmCVec)
12	4, 5, 11	mp2an 696	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
13		eqid 1473	. . . . . . 7 |- (Base` W) = (Base` W)
14	13, 7	nvzcl 8207	. . . . . 6 |- (W e. NrmCVec -> (0v` W) e. (Base` W))
15	12, 14	ax-mp 7	. . . . 5 |- (0v` W) e. (Base` W)
16		hhsst.2	. . . . . . 7 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
17	3, 16, 5, 2	hhshsslem1 9076	. . . . . 6 |- H = (Base` W)
18	17	eqcomi 1476	. . . . 5 |- (Base` W) = H
19	15, 18	eleqtr 1543	. . . 4 |- (0v` W) e. H
20	10, 19	eqeltrr 1542	. . 3 |- 0h e. H
21	2, 20	pm3.2i 285	. 2 |- (H (_ H~ /\ 0h e. H)
22	3	hhva 8972	. . . . . . 7 |- +h = (+v` U)
23		eqid 1473	. . . . . . 7 |- (+v` W) = (+v` W)
24	17, 22, 23, 8	sspgval 8335	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) /\ (x e. H /\ y e. H)) -> (x(+v` W)y) = (x +h y))
25	4, 5, 24	mpanl12 707	. . . . 5 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x(+v` W)y) = (x +h y))
26	17, 23	nvgcl 8191	. . . . . 6 |- ((W e. NrmCVec /\ x e. H /\ y e. H) -> (x(+v` W)y) e. H)
27	12, 26	mp3an1 901	. . . . 5 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x(+v` W)y) e. H)
28	25, 27	eqeltrrd 1546	. . . 4 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
29	28	rgen2a 1696	. . 3 |- A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H
30	3	hhsm 8975	. . . . . . 7 |- .h = (.s` U)
31		eqid 1473	. . . . . . 7 |- (.s` W) = (.s` W)
32	17, 30, 31, 8	sspsval 8337	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) /\ (x e. CC /\ y e. H)) -> (x(.s` W)y) = (x .h y))
33	4, 5, 32	mpanl12 707	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. H) -> (x(.s` W)y) = (x .h y))
34	17, 31	nvscl 8199	. . . . . 6 |- ((W e. NrmCVec /\ x e. CC /\ y e. H) -> (x(.s` W)y) e. H)
35	12, 34	mp3an1 901	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. H) -> (x(.s` W)y) e. H)
36	33, 35	eqeltrrd 1546	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. H) -> (x .h y) e. H)
37	36	rgen2 1720	. . 3 |- A.x e. CC A.y e. H (x .h y) e. H
38	29, 37	pm3.2i 285	. 2 |- (A.x e. H A.y e. H (x +h y) e. H /\ A.x e. CC A.y e. H (x .h y) e. H)
39	1, 21, 38	mpbir2an 729	1 |- H e. SH

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   (_ wss 2043  <.cop 2407   X. cxp 3163   |` cres 3167  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  NrmCVeccnv 8155  +vcpv 8156  Basecba 8157  .scns 8158  0vcn0v 8159  SubSpcss 8327  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  0hc0v 8730  normhcno 8733  SHcsh 8736

This theorem is referenced by:  hhsssh 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-gdiv 7990  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-vs 8170  df-nm 8171  df-ssp 8328  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-sh 9015

Copyright terms: Public domain