Theorem infpss 7582

Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91.

Hypothesis

Ref	Expression
infpss.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
infpss	|- (om ~<_ A -> E.x(x (. A /\ x ~~ A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem infpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpss.1	. . . 4 |- A e. V
2	1	infn0 4544	. . 3 |- (om ~<_ A -> A =/= (/))
3		ne0 2293	. . 3 |- (A =/= (/) <-> E.y y e. A)
4	2, 3	sylib 198	. 2 |- (om ~<_ A -> E.y y e. A)
5		difexg 2728	. . . . . . 7 |- (A e. V -> (A \ {y}) e. V)
6	1, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A \ {y}) e. V
7		psseq1 2139	. . . . . . 7 |- (x = (A \ {y}) -> (x (. A <-> (A \ {y}) (. A))
8		breq1 2628	. . . . . . 7 |- (x = (A \ {y}) -> (x ~~ A <-> (A \ {y}) ~~ A))
9	7, 8	anbi12d 630	. . . . . 6 |- (x = (A \ {y}) -> ((x (. A /\ x ~~ A) <-> ((A \ {y}) (. A /\ (A \ {y}) ~~ A)))
10	6, 9	cla4ev 1872	. . . . 5 |- (((A \ {y}) (. A /\ (A \ {y}) ~~ A) -> E.x(x (. A /\ x ~~ A))
11		snidg 2438	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> y e. {y})
12	11	ancli 296	. . . . . . . 8 |- (y e. A -> (y e. A /\ y e. {y}))
13		elin 2211	. . . . . . . 8 |- (y e. (A i^i {y}) <-> (y e. A /\ y e. {y}))
14	12, 13	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (y e. A -> y e. (A i^i {y}))
15		n0i 2289	. . . . . . 7 |- (y e. (A i^i {y}) -> -. (A i^i {y}) = (/))
16	14, 15	syl 10	. . . . . 6 |- (y e. A -> -. (A i^i {y}) = (/))
17		disj4 2322	. . . . . . 7 |- ((A i^i {y}) = (/) <-> -. (A \ {y}) (. A)
18	17	con2bii 221	. . . . . 6 |- ((A \ {y}) (. A <-> -. (A i^i {y}) = (/))
19	16, 18	sylibr 200	. . . . 5 |- (y e. A -> (A \ {y}) (. A)
20		1onn 4260	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
21	1	infsdomnn 4543	. . . . . . . 8 |- ((om ~<_ A /\ 1o e. om) -> 1o ~< A)
22	20, 21	mpan2 698	. . . . . . 7 |- (om ~<_ A -> 1o ~< A)
23		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- y e. V
24	23	ensn1 4431	. . . . . . . 8 |- {y} ~~ 1o
25		ensdomtr 4478	. . . . . . . 8 |- (({y} ~~ 1o /\ 1o ~< A) -> {y} ~< A)
26	24, 25	mpan 697	. . . . . . 7 |- (1o ~< A -> {y} ~< A)
27	22, 26	syl 10	. . . . . 6 |- (om ~<_ A -> {y} ~< A)
28		snex 2757	. . . . . . 7 |- {y} e. V
29	1, 28	infdif 7576	. . . . . 6 |- ((om ~<_ A /\ {y} ~< A) -> (A \ {y}) ~~ A)
30	27, 29	mpdan 706	. . . . 5 |- (om ~<_ A -> (A \ {y}) ~~ A)
31	10, 19, 30	syl2an 456	. . . 4 |- ((y e. A /\ om ~<_ A) -> E.x(x (. A /\ x ~~ A))
32	31	ex 373	. . 3 |- (y e. A -> (om ~<_ A -> E.x(x (. A /\ x ~~ A)))
33	32	19.23aiv 1297	. 2 |- (E.y y e. A -> (om ~<_ A -> E.x(x (. A /\ x ~~ A)))
34	4, 33	mpcom 49	1 |- (om ~<_ A -> E.x(x (. A /\ x ~~ A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  Vcvv 1814   \ cdif 2048   i^i cin 2050   (. wpss 2052  (/)c0 2284  {csn 2414   class class class wbr 2625  omcom 3138  1oc1o 4135   ~~ cen 4371   ~<_ cdom 4372   ~< csdm 4373

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641  ax-ac 4761

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-fv 3205  df-iso 3206  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-2o 4141  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-en 4375  df-dom 4376  df-sdom 4377  df-fin 4378  df-card 4833  df-cda 4937  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-lt 5266  df-sub 5375  df-neg 5377  df-pnf 5506  df-mnf 5507  df-xr 5508  df-ltxr 5509  df-le 5510  df-n 5934  df-2 5979  df-n0 6109  df-z 6145  df-seq1 6316  df-exp 6577

Copyright terms: Public domain