Theorem intirr 3441

Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51.

Assertion

Ref	Expression
intirr	|- ((R i^i I) = (/) <-> A.x -. xRx)

Distinct variable group:   x,R

Proof of Theorem intirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 2231	. . . 4 |- (R i^i I) (_ I
2		reli 3273	. . . 4 |- Rel I
3		relss 3246	. . . 4 |- ((R i^i I) (_ I -> (Rel I -> Rel (R i^i I)))
4	1, 2, 3	mp2 43	. . 3 |- Rel (R i^i I)
5		rel0 3272	. . 3 |- Rel (/)
6		eqrel 3250	. . 3 |- ((Rel (R i^i I) /\ Rel (/)) -> ((R i^i I) = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/))))
7	4, 5, 6	mp2an 697	. 2 |- ((R i^i I) = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
8		df-br 2620	. . . . . 6 |- (xRx <-> <.x, x>. e. R)
9		visset 1813	. . . . . . 7 |- x e. V
10		opeq2 2488	. . . . . . . 8 |- (y = x -> <.x, y>. = <.x, x>.)
11	10	eleq1d 1540	. . . . . . 7 |- (y = x -> (<.x, y>. e. R <-> <.x, x>. e. R))
12	9, 11	ceqsexv 1835	. . . . . 6 |- (E.y(y = x /\ <.x, y>. e. R) <-> <.x, x>. e. R)
13	8, 12	bitr4 176	. . . . 5 |- (xRx <-> E.y(y = x /\ <.x, y>. e. R))
14		noel 2284	. . . . . . . . 9 |- -. <.x, y>. e. (/)
15	14	nbn 722	. . . . . . . 8 |- (-. <.x, y>. e. (R i^i I) <-> (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
16	15	con1bii 220	. . . . . . 7 |- (-. (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)) <-> <.x, y>. e. (R i^i I))
17		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
18	17	ideq 3277	. . . . . . . . . 10 |- (xIy <-> x = y)
19		df-br 2620	. . . . . . . . . 10 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
20		eqcom 1477	. . . . . . . . . 10 |- (x = y <-> y = x)
21	18, 19, 20	3bitr3r 182	. . . . . . . . 9 |- (y = x <-> <.x, y>. e. I)
22	21	anbi2i 480	. . . . . . . 8 |- ((<.x, y>. e. R /\ y = x) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. I))
23		ancom 435	. . . . . . . 8 |- ((y = x /\ <.x, y>. e. R) <-> (<.x, y>. e. R /\ y = x))
24		elin 2207	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. I))
25	22, 23, 24	3bitr4r 184	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> (y = x /\ <.x, y>. e. R))
26	16, 25	bitr2 174	. . . . . 6 |- ((y = x /\ <.x, y>. e. R) <-> -. (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
27	26	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.y(y = x /\ <.x, y>. e. R) <-> E.y -. (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
28		exnal 1038	. . . . 5 |- (E.y -. (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)) <-> -. A.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
29	13, 27, 28	3bitr 177	. . . 4 |- (xRx <-> -. A.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
30	29	con2bii 221	. . 3 |- (A.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)) <-> -. xRx)
31	30	albii 999	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)) <-> A.x -. xRx)
32	7, 31	bitr 173	1 |- ((R i^i I) = (/) <-> A.x -. xRx)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   i^i cin 2046   (_ wss 2047  (/)c0 2280  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Icid 2831  Rel wrel 3175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185

Copyright terms: Public domain