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Theorem isbasis3g 7563
Description: Express the predicate "B is a basis for a topology." Definition of basis in [Munkres] p. 78.
Assertion
Ref Expression
isbasis3g |- (B e. C -> (B e. Bases <-> (A.x e. B x (_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w (_ (x i^i y)))))
Distinct variable group:   x,w,y,z,B
Proof of Theorem isbasis3g
StepHypRef Expression
1 isbasis2g 7562 . 2 |- (B e. C -> (B e. Bases <-> A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w (_ (x i^i y))))
2 elssuni 2521 . . . . . 6 |- (x e. B -> x (_ U.B)
32rgen 1695 . . . . 5 |- A.x e. B x (_ U.B
4 eluni2 2502 . . . . . . 7 |- (x e. U.B <-> E.y e. B x e. y)
54biimp 151 . . . . . 6 |- (x e. U.B -> E.y e. B x e. y)
65rgen 1695 . . . . 5 |- A.x e. U.BE.y e. B x e. y
73, 6pm3.2i 285 . . . 4 |- (A.x e. B x (_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y)
87biantrur 724 . . 3 |- (A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w (_ (x i^i y)) <-> ((A.x e. B x (_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y) /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w (_ (x i^i y))))
9 df-3an 776 . . 3 |- ((A.x e. B x (_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w (_ (x i^i y))) <-> ((A.x e. B x (_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y) /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w (_ (x i^i y))))
108, 9bitr4 176 . 2 |- (A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w (_ (x i^i y)) <-> (A.x e. B x (_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w (_ (x i^i y))))
111, 10syl6bb 535 1 |- (B e. C -> (B e. Bases <-> (A.x e. B x (_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w (_ (x i^i y)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   i^i cin 2042   (_ wss 2043  U.cuni 2498  Basesctb 7540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-12 966  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-in 2047  df-ss 2049  df-pw 2398  df-uni 2499  df-bases 7544
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