Theorem isumclim4t 7208

Description: An infinite sum equals the value its series converges to.

Hypotheses

Ref	Expression
isumclim3t.1	|- A e. V
isumclim3t.2	|- F = {<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)}
isumclim4t.3	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
isumclim4t	|- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> B) -> sum_k e. (ZZ>` M)A = B)

Distinct variable groups:   y,A   y,k,M

Proof of Theorem isumclim4t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclim3t.2	. . . 4 |- F = {<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)}
2		hbopab1 2820	. . . 4 |- (z e. {<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)} -> A.k z e. {<.k, y>. | (k e. (ZZ>` M) /\ y = A)})
3	1, 2	hbxfr 1566	. . 3 |- (z e. F -> A.k z e. F)
4		fvex 3739	. . . 4 |- (ZZ>` M) e. V
5	4, 1	fopabex2 3619	. . 3 |- F e. V
6		isumclim4t.3	. . 3 |- B e. V
7	3, 5, 6	isumclimtf 7202	. 2 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> B) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = B)
8		ssid 2084	. . 3 |- (ZZ>` M) (_ (ZZ>` M)
9		isumclim3t.1	. . . 4 |- A e. V
10	9, 1	sumeqfv 7004	. . 3 |- ((ZZ>` M) (_ (ZZ>` M) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` M)A)
11	8, 10	ax-mp 7	. 2 |- sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` M)A
12	7, 11	syl5eqr 1524	1 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> B) -> sum_k e. (ZZ>` M)A = B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814   (_ wss 2051  <.cop 2416   class class class wbr 2625  {copab 2672  ` cfv 3189  (class class class)co 3970   + caddc 5256  ZZcz 5317  ZZ>cuz 6425   seq cseqz 6539   ~~> cli 6981  sum_csu 6986

This theorem is referenced by:  isummulc1 7219  isummulc1ALT 7220  geoisum 7249  geoisum1 7251  erelem6 7331  efcj 7343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-en 4375  df-dom 4376  df-sdom 4377  df-sup 4590  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-lt 5266  df-sub 5375  df-neg 5377  df-pnf 5506  df-mnf 5507  df-xr 5508  df-ltxr 5509  df-le 5510  df-div 5722  df-n 5934  df-2 5979  df-n0 6109  df-z 6145  df-seq1 6316  df-shft 6349  df-uz 6426  df-fz 6476  df-seqz 6541  df-exp 6577  df-sqr 6678  df-re 6759  df-im 6760  df-cj 6761  df-abs 6762  df-clim 6982  df-sum 6987

Copyright terms: Public domain