Theorem kbvalt 9876

Description: The outer product of two vectors, expressed as | A>. <.B | in Dirac notation. See df-kb 9777.

Assertion

Ref	Expression
kbvalt	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A ketbra B) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))})

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem kbvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8869	. . 3 |- H~ e. V
2	1	opabex2 3610	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))} e. V
3		opreq2 3969	. . . . 5 |- (z = A -> ((x .ih w) .h z) = ((x .ih w) .h A))
4	3	eqeq2d 1486	. . . 4 |- (z = A -> (y = ((x .ih w) .h z) <-> y = ((x .ih w) .h A)))
5	4	anbi2d 616	. . 3 |- (z = A -> ((x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h z)) <-> (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A))))
6	5	opabbidv 2670	. 2 |- (z = A -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h z))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A))})
7		opreq2 3969	. . . . . 6 |- (w = B -> (x .ih w) = (x .ih B))
8	7	opreq1d 3975	. . . . 5 |- (w = B -> ((x .ih w) .h A) = ((x .ih B) .h A))
9	8	eqeq2d 1486	. . . 4 |- (w = B -> (y = ((x .ih w) .h A) <-> y = ((x .ih B) .h A)))
10	9	anbi2d 616	. . 3 |- (w = B -> ((x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A)) <-> (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))))
11	10	opabbidv 2670	. 2 |- (w = B -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))})
12		df-kb 9777	. 2 |- ketbra = {<.<.z, w>., t>. | ((z e. H~ /\ w e. H~) /\ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h z))})}
13	2, 6, 11, 12	oprabval2 4028	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A ketbra B) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2666  (class class class)co 3963  H~chil 8788   .h csm 8790   .ih csp 8793   ketbra ck 8826

This theorem is referenced by:  kbopt 9877  kbvalvalt 9878  kbmult 9879  kbass2t 10050  kbass5t 10053

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-kb 9777

Copyright terms: Public domain