Theorem nd3 4940

Description: A lemma for proving conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
nd3	|- (A.x x = y -> -. A.z x e. y)

Proof of Theorem nd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-4 973	. 2 |- (A.x x = y -> x = y)
2		elirrv 4598	. . 3 |- -. x e. x
3		elequ2 1137	. . 3 |- (x = y -> (x e. x <-> x e. y))
4	2, 3	mtbii 716	. 2 |- (x = y -> -. x e. y)
5		ax-4 973	. . 3 |- (A.z x e. y -> x e. y)
6	5	con3i 98	. 2 |- (-. x e. y -> -. A.z x e. y)
7	1, 4, 6	3syl 20	1 |- (A.x x = y -> -. A.z x e. y)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958

This theorem is referenced by:  nd4 4941  axrepnd 4946  axpowndlem3 4951  axinfnd 4958  axacndlem3 4961  axacnd 4964

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-reg 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413

Copyright terms: Public domain