Theorem ndmoprg 4050

Description: The value of an operation outside its domain.

Assertion

Ref	Expression
ndmoprg	|- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C /\ -. (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) = (/))

Proof of Theorem ndmoprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1538	. . . . 5 |- (dom F = (R X. S) -> (<.A, B>. e. dom F <-> <.A, B>. e. (R X. S)))
2		opelxpg 3223	. . . . 5 |- (B e. C -> (<.A, B>. e. (R X. S) <-> (A e. R /\ B e. S)))
3	1, 2	sylan9bb 542	. . . 4 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (<.A, B>. e. dom F <-> (A e. R /\ B e. S)))
4	3	negbid 613	. . 3 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (-. <.A, B>. e. dom F <-> -. (A e. R /\ B e. S)))
5		ndmfv 3752	. . . 4 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (F` <.A, B>.) = (/))
6		df-opr 3972	. . . 4 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
7	5, 6	syl5eq 1522	. . 3 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (AFB) = (/))
8	4, 7	syl6bir 215	. 2 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C) -> (-. (A e. R /\ B e. S) -> (AFB) = (/)))
9	8	3impia 832	1 |- ((dom F = (R X. S) /\ B e. C /\ -. (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  (/)c0 2284  <.cop 2416   X. cxp 3175  dom cdm 3177  ` cfv 3189  (class class class)co 3970

This theorem is referenced by:  ndmoprcl 4051  ndmopr 4052  curry1val 4107  ndmioo 6378  elioo3g 6388  elfz2t 6480  clsrebb 10487  hmeogrp 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-pow 2749  ax-pr 2786

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-xp 3191  df-cnv 3193  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fv 3205  df-opr 3972

Copyright terms: Public domain