Theorem nfvres 3755

Description: A non-element of a restriction has empty value.

Assertion

Ref	Expression
nfvres	|- (-. A e. B -> ((F |` B)` A) = (/))

Proof of Theorem nfvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 3387	. . . . . 6 |- dom ( F |` B) = (B i^i dom F)
2	1	eleq2i 1541	. . . . 5 |- (A e. dom ( F |` B) <-> A e. (B i^i dom F))
3		elin 2211	. . . . 5 |- (A e. (B i^i dom F) <-> (A e. B /\ A e. dom F))
4	2, 3	bitr 173	. . . 4 |- (A e. dom ( F |` B) <-> (A e. B /\ A e. dom F))
5	4	pm3.26bi 322	. . 3 |- (A e. dom ( F |` B) -> A e. B)
6	5	con3i 98	. 2 |- (-. A e. B -> -. A e. dom ( F |` B))
7		ndmfv 3752	. 2 |- (-. A e. dom ( F |` B) -> ((F |` B)` A) = (/))
8	6, 7	syl 10	1 |- (-. A e. B -> ((F |` B)` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   i^i cin 2050  (/)c0 2284  dom cdm 3177   |` cres 3179  ` cfv 3189

This theorem is referenced by:  fveqres 3756

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-pow 2749  ax-pr 2786

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-xp 3191  df-cnv 3193  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fv 3205

Copyright terms: Public domain