Theorem nlfnvalt 9810

Description: Value of the null space of a Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
nlfnvalt	|- (T:H~-->CC -> (null` T) = {x e. H~ | (T` x) = 0})

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem nlfnvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8871	. . 3 |- H~ e. V
2	1	rabex 2731	. 2 |- {x e. H~ | (T` x) = 0} e. V
3		axcnex 5286	. 2 |- CC e. V
4		fveq1 3730	. . . 4 |- (t = T -> (t` x) = (T` x))
5	4	eqeq1d 1486	. . 3 |- (t = T -> ((t` x) = 0 <-> (T` x) = 0))
6	5	rabbisdv 1810	. 2 |- (t = T -> {x e. H~ | (t` x) = 0} = {x e. H~ | (T` x) = 0})
7		df-nlfn 9774	. 2 |- null = {<.t, y>. | (t:H~-->CC /\ y = {x e. H~ | (t` x) = 0})}
8	2, 1, 3, 6, 7	fvopabf4 4347	1 |- (T:H~-->CC -> (null` T) = {x e. H~ | (T` x) = 0})

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958  {crab 1651  -->wf 3185  ` cfv 3189  CCcc 5251  0cc0 5253  H~chil 8790  nullcnl 8823

This theorem is referenced by:  elnlfnt 9854  elnlfn2t 9855  nlelsh 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641  ax-hilex 8871

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-fv 3205  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-qs 4273  df-map 4331  df-ni 5019  df-nq 5057  df-np 5105  df-nr 5186  df-c 5259  df-nlfn 9774

Copyright terms: Public domain