Theorem nmopadjle 9976

Description: Property of the norm of an adjoint. Part of proof of Theorem 3.10 of [Beran] p. 104.

Hypothesis

Ref	Expression
nmopadjle.1	|- T e. BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopadjle	|- (A e. H~ -> (normh` ((adjh` T)` A)) <_ ((normop` T) x. (normh` A)))

Proof of Theorem nmopadjle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdopssadj 9969	. . . . . 6 |- BndLinOp (_ dom adjh
2		nmopadjle.1	. . . . . 6 |- T e. BndLinOp
3	1, 2	sselii 2064	. . . . 5 |- T e. dom adjh
4		adjvalvalt 9816	. . . . 5 |- ((T e. dom adjh /\ A e. H~) -> ((adjh` T)` A) = U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih f)})
5	3, 4	mpan 695	. . . 4 |- (A e. H~ -> ((adjh` T)` A) = U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih f)})
6		opreq2 3967	. . . . . . . . 9 |- (z = A -> ((T` v) .ih z) = ((T` v) .ih A))
7	6	eqeq1d 1482	. . . . . . . 8 |- (z = A -> (((T` v) .ih z) = (v .ih f) <-> ((T` v) .ih A) = (v .ih f)))
8	7	ralbidv 1662	. . . . . . 7 |- (z = A -> (A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f) <-> A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih f)))
9	8	rabbisdv 1805	. . . . . 6 |- (z = A -> {f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f)} = {f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih f)})
10	9	unieqd 2510	. . . . 5 |- (z = A -> U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f)} = U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih f)})
11		eqid 1475	. . . . 5 |- {<.z, u>. | (z e. H~ /\ u = U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f)})} = {<.z, u>. | (z e. H~ /\ u = U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f)})}
12		ax-hilex 8824	. . . . . . 7 |- H~ e. V
13	12	rabex 2723	. . . . . 6 |- {f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih f)} e. V
14	13	uniex 2868	. . . . 5 |- U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih f)} e. V
15	10, 11, 14	fvopab4 3778	. . . 4 |- (A e. H~ -> ({<.z, u>. | (z e. H~ /\ u = U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f)})}` A) = U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih f)})
16	5, 15	eqtr4d 1509	. . 3 |- (A e. H~ -> ((adjh` T)` A) = ({<.z, u>. | (z e. H~ /\ u = U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f)})}` A))
17	16	fveq2d 3726	. 2 |- (A e. H~ -> (normh` ((adjh` T)` A)) = (normh` ({<.z, u>. | (z e. H~ /\ u = U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f)})}` A)))
18		inss1 2228	. . . 4 |- (LinOp i^i ConOp) (_ LinOp
19		lncnbd 9922	. . . . 5 |- (LinOp i^i ConOp) = BndLinOp
20	2, 19	eleqtrr 1546	. . . 4 |- T e. (LinOp i^i ConOp)
21	18, 20	sselii 2064	. . 3 |- T e. LinOp
22		inss2 2229	. . . 4 |- (LinOp i^i ConOp) (_ ConOp
23	22, 20	sselii 2064	. . 3 |- T e. ConOp
24		eqid 1475	. . 3 |- {<.g, h>. | (g e. H~ /\ h = ((T` g) .ih z))} = {<.g, h>. | (g e. H~ /\ h = ((T` g) .ih z))}
25		opreq2 3967	. . . . . . 7 |- (f = w -> (v .ih f) = (v .ih w))
26	25	eqeq2d 1485	. . . . . 6 |- (f = w -> (((T` v) .ih z) = (v .ih f) <-> ((T` v) .ih z) = (v .ih w)))
27	26	ralbidv 1662	. . . . 5 |- (f = w -> (A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f) <-> A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih w)))
28	27	cbvrabv 1909	. . . 4 |- {f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f)} = {w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih w)}
29	28	unieqi 2509	. . 3 |- U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f)} = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih w)}
30	21, 23, 24, 29, 11	cnlnadjlem7 9961	. 2 |- (A e. H~ -> (normh` ({<.z, u>. | (z e. H~ /\ u = U.{f e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih z) = (v .ih f)})}` A)) <_ ((normop` T) x. (normh` A)))
31	17, 30	eqbrtrd 2633	1 |- (A e. H~ -> (normh` ((adjh` T)` A)) <_ ((normop` T) x. (normh` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1644  {crab 1647   i^i cin 2044  U.cuni 2501   class class class wbr 2617  {copab 2664  dom cdm 3168  ` cfv 3180  (class class class)co 3961   x. cmul 5227   <_ cle 5283  H~chil 8743   .ih csp 8748  normhcno 8749  norm_opcnop 8769  ConOpcco 8770  LinOpclo 8771  BndLinOpcbo 8772  adj_hcado 8779

This theorem is referenced by:  nmopadjlem 9977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2691  ax-sep 2701  ax-nul 2708  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864  ax-reg 4581  ax-inf2 4613  ax-ac 4732  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his2 8905  ax-his3 8906  ax-his4 8907  ax-hcompl 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2502  df-int 2532  df-iun 2566  df-iin 2567  df-br 2618  df-opab 2665  df-tr 2679  df-eprel 2830  df-id 2833  df-po 2838  df-so 2848  df-fr 2915  df-we 2932  df-ord 2949  df-on 2950  df-lim 2951  df-suc 2952  df-om 3130  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fn 3191  df-f 3192  df-f1 3193  df-fo 3194  df-f1o 3195  df-fv 3196  df-rdg 3930  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-1st 4077  df-2nd 4078  df-1o 4131  df-oadd 4133  df-omul 4134  df-er 4259  df-ec 4261  df-qs 4264  df-map 4322  df-en 4365  df-dom 4366  df-sdom 4367  df-sup 4562  df-r1 4631  df-rank 4632  df-ni 4988  df-pli 4989  df-mi 4990  df-lti 4991  df-plpq 5023  df-mpq 5024  df-enq 5025  df-nq 5026  df-plq 5027  df-mq 5028  df-rq 5029  df-ltq 5030  df-1q 5031  df-np 5074  df-1p 5075  df-plp 5076  df-mp 5077  df-ltp 5078  df-plpr 5152  df-mpr 5153  df-enr 5154  df-nr 5155  df-plr 5156  df-mr 5157  df-ltr 5158  df-0r 5159  df-1r 5160  df-m1r 5161  df-c 5228  df-0 5229  df-1 5230  df-i 5231  df-r 5232  df-plus 5233  df-mul 5234  df-lt 5235  df-sub 5344  df-neg 5346  df-pnf 5475  df-mnf 5476  df-xr 5477  df-ltxr 5478  df-le 5479  df-div 5686  df-n 5893  df-2 5938  df-3 5939  df-4 5940  df-n0 6068  df-z 6104  df-fl 6192  df-q 6220  df-seq1 6272  df-shft 6305  df-ioo 6325  df-uz 6378  df-fz 6428  df-seqz 6493  df-exp 6529  df-sqr 6630  df-re 6711  df-im 6712  df-cj 6713  df-abs 6714  df-clim 6933  df-sum 6938  df-top 7549  df-bases 7551  df-topgen 7552  df-cld 7620  df-ntr 7621  df-cls 7622  df-cn 7711  df-cnp 7712  df-haus 7739  df-met 7750  df-bl 7752  df-opn 7753  df-lm 7879  df-grp 7994  df-gid 7995  df-ginv 7996  df-gdiv 7997  df-abl 8057  df-vc 8122  df-nv 8168  df-va 8171  df-ba 8172  df-sm 8173  df-0v 8174  df-vs 8175  df-nm 8176  df-ims 8177  df-ip 8307  df-ph 8429  df-hnorm 8792  df-hvsub 8795  df-hlim 8796  df-hcau 8797  df-sh 9031  df-ch 9047  df-oc 9079  df-ch0 9080  df-pj 9192  df-h0op 9629  df-nmop 9720  df-cnop 9721  df-lnop 9722  df-bdop 9723  df-unop 9724  df-hmop 9725  df-nmfn 9726  df-nlfn 9727  df-cnfn 9728  df-lnfn 9729  df-adjh 9730

Copyright terms: Public domain