Theorem nn0addclt 6108

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addclt	|- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M + N) e. NN0)

Proof of Theorem nn0addclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaddclt 5928	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N e. NN) -> (M + N) e. NN)
2		nnnn0t 6094	. . . 4 |- ((M + N) e. NN -> (M + N) e. NN0)
3	1, 2	syl 10	. . 3 |- ((M e. NN /\ N e. NN) -> (M + N) e. NN0)
4		opreq1 3968	. . . . . 6 |- (M = 0 -> (M + N) = (0 + N))
5		addid2t 5321	. . . . . 6 |- (N e. CC -> (0 + N) = N)
6	4, 5	sylan9eq 1527	. . . . 5 |- ((M = 0 /\ N e. CC) -> (M + N) = N)
7		nncnt 5918	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. CC)
8	6, 7	sylan2 451	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> (M + N) = N)
9		nnnn0t 6094	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. NN0)
10	9	adantl 388	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> N e. NN0)
11	8, 10	eqeltrd 1548	. . 3 |- ((M = 0 /\ N e. NN) -> (M + N) e. NN0)
12		opreq2 3969	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (M + N) = (M + 0))
13		ax0id 5273	. . . . . 6 |- (M e. CC -> (M + 0) = M)
14	12, 13	sylan9eqr 1529	. . . . 5 |- ((M e. CC /\ N = 0) -> (M + N) = M)
15		nncnt 5918	. . . . 5 |- (M e. NN -> M e. CC)
16	14, 15	sylan 448	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> (M + N) = M)
17		nnnn0t 6094	. . . . 5 |- (M e. NN -> M e. NN0)
18	17	adantr 389	. . . 4 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> M e. NN0)
19	16, 18	eqeltrd 1548	. . 3 |- ((M e. NN /\ N = 0) -> (M + N) e. NN0)
20		opreq12 3970	. . . . 5 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> (M + N) = (0 + 0))
21		0cn 5320	. . . . . 6 |- 0 e. CC
22	21	addid1 5322	. . . . 5 |- (0 + 0) = 0
23	20, 22	syl6eq 1523	. . . 4 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> (M + N) = 0)
24		0nn0 6101	. . . 4 |- 0 e. NN0
25	23, 24	syl6eqel 1556	. . 3 |- ((M = 0 /\ N = 0) -> (M + N) e. NN0)
26	3, 11, 19, 25	ccase 755	. 2 |- (((M e. NN \/ M = 0) /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (M + N) e. NN0)
27		elnn0 6089	. 2 |- (M e. NN0 <-> (M e. NN \/ M = 0))
28		elnn0 6089	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
29	26, 27, 28	syl2anb 455	1 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M + N) e. NN0)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (class class class)co 3963  CCcc 5224  0cc0 5226   + caddc 5229  NNcn 5288  NN0cn0 5289

This theorem is referenced by:  nn0addcl 6109  peano2nn0 6112  zaddclt 6153  expaddt 6582  cvganz 6909  faclbnd4lem3 6935  faclbnd5 6938  faclbnd6 6939  facavgt 6940  bcxmas 7061  climaddlem3 7101  climmullem8 7112  efaddlem15 7337  ef1tllem 7366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4617

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 4992  df-pli 4993  df-mi 4994  df-lti 4995  df-plpq 5027  df-mpq 5028  df-enq 5029  df-nq 5030  df-plq 5031  df-mq 5032  df-rq 5033  df-ltq 5034  df-1q 5035  df-np 5078  df-1p 5079  df-plp 5080  df-mp 5081  df-ltp 5082  df-plpr 5156  df-mpr 5157  df-enr 5158  df-nr 5159  df-plr 5160  df-mr 5161  df-ltr 5162  df-0r 5163  df-1r 5164  df-m1r 5165  df-c 5232  df-0 5233  df-1 5234  df-i 5235  df-r 5236  df-plus 5237  df-mul 5238  df-sub 5348  df-neg 5350  df-n 5913  df-n0 6088

Copyright terms: Public domain