Theorem nthruz 6706

Description: The sequence NN, NN0, and ZZ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to NN0 but not NN and minus one belongs to ZZ but not NN0. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 6705.

Assertion

Ref	Expression
nthruz	|- (NN (. NN0 /\ NN0 (. ZZ)

Proof of Theorem nthruz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 6070	. . 3 |- NN (_ NN0
2		0nn0 6081	. . . 4 |- 0 e. NN0
3		0nnn 5916	. . . 4 |- -. 0 e. NN
4	2, 3	pm3.2i 285	. . 3 |- (0 e. NN0 /\ -. 0 e. NN)
5		ssnelpss 2328	. . 3 |- (NN (_ NN0 -> ((0 e. NN0 /\ -. 0 e. NN) -> NN (. NN0))
6	1, 4, 5	mp2 43	. 2 |- NN (. NN0
7		nn0ssz 6120	. . 3 |- NN0 (_ ZZ
8		1nn 5902	. . . . 5 |- 1 e. NN
9		nnnegz 6106	. . . . 5 |- (1 e. NN -> -u1 e. ZZ)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- -u1 e. ZZ
11		1re 5423	. . . . . 6 |- 1 e. RR
12	11	renegcl 5404	. . . . 5 |- -u1 e. RR
13		neg0 5403	. . . . . . 7 |- -u0 = 0
14		lt01 5667	. . . . . . 7 |- 0 < 1
15	13, 14	eqbrtr 2632	. . . . . 6 |- -u0 < 1
16		0re 5428	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
17	11, 16	ltnegcon1 5653	. . . . . 6 |- (-u1 < 0 <-> -u0 < 1)
18	15, 17	mpbir 190	. . . . 5 |- -u1 < 0
19		lt0nnn0 6084	. . . . 5 |- ((-u1 e. RR /\ -u1 < 0) -> -. -u1 e. NN0)
20	12, 18, 19	mp2an 697	. . . 4 |- -. -u1 e. NN0
21	10, 20	pm3.2i 285	. . 3 |- (-u1 e. ZZ /\ -. -u1 e. NN0)
22		ssnelpss 2328	. . 3 |- (NN0 (_ ZZ -> ((-u1 e. ZZ /\ -. -u1 e. NN0) -> NN0 (. ZZ))
23	7, 21, 22	mp2 43	. 2 |- NN0 (. ZZ
24	6, 23	pm3.2i 285	1 |- (NN (. NN0 /\ NN0 (. ZZ)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   e. wcel 958   (_ wss 2045   (. wpss 2046   class class class wbr 2617  RRcr 5221  0cc0 5222  1c1 5223  -ucneg 5281  NNcn 5284  NN0cn0 5285  ZZcz 5286   < clt 5474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2691  ax-sep 2701  ax-nul 2708  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864  ax-inf2 4613

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2502  df-int 2532  df-iun 2566  df-br 2618  df-opab 2665  df-tr 2679  df-eprel 2830  df-id 2833  df-po 2838  df-so 2848  df-fr 2915  df-we 2932  df-ord 2949  df-on 2950  df-lim 2951  df-suc 2952  df-om 3130  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fn 3191  df-f 3192  df-f1 3193  df-fo 3194  df-f1o 3195  df-fv 3196  df-rdg 3930  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-1st 4077  df-2nd 4078  df-1o 4131  df-oadd 4133  df-omul 4134  df-er 4259  df-ec 4261  df-qs 4264  df-en 4365  df-dom 4366  df-sdom 4367  df-ni 4988  df-pli 4989  df-mi 4990  df-lti 4991  df-plpq 5023  df-mpq 5024  df-enq 5025  df-nq 5026  df-plq 5027  df-mq 5028  df-rq 5029  df-ltq 5030  df-1q 5031  df-np 5074  df-1p 5075  df-plp 5076  df-mp 5077  df-ltp 5078  df-plpr 5152  df-mpr 5153  df-enr 5154  df-nr 5155  df-plr 5156  df-mr 5157  df-ltr 5158  df-0r 5159  df-1r 5160  df-m1r 5161  df-c 5228  df-0 5229  df-1 5230  df-i 5231  df-r 5232  df-plus 5233  df-mul 5234  df-lt 5235  df-sub 5344  df-neg 5346  df-pnf 5475  df-mnf 5476  df-xr 5477  df-ltxr 5478  df-le 5479  df-n 5893  df-n0 6068  df-z 6104

Copyright terms: Public domain