Theorem nvdm 8292

Description: Two ways to express the set of vectors in a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvdm.2	|- G = (+v` U)
nvdm.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvdm	|- (U e. NrmCVec -> (X = dom N <-> X = ran G))

Proof of Theorem nvdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . . . 6 |- (Base` U) = (Base` U)
2		nvdm.2	. . . . . 6 |- G = (+v` U)
3	1, 2	bafval 8226	. . . . 5 |- (Base` U) = ran G
4	3	eqcomi 1482	. . . 4 |- ran G = (Base` U)
5		nvdm.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
6	4, 5	nvf 8289	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> N:ran G-->RR)
7		fdm 3638	. . 3 |- (N:ran G-->RR -> dom N = ran G)
8	6, 7	syl 10	. 2 |- (U e. NrmCVec -> dom N = ran G)
9	8	eqeq2d 1489	1 |- (U e. NrmCVec -> (X = dom N <-> X = ran G))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  dom cdm 3177  ran crn 3178  -->wf 3185  ` cfv 3189  RRcr 5252  NrmCVeccnv 8206  +vcpv 8207  Basecba 8208  normcnm 8212

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-id 2842  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-fo 3203  df-fv 3205  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-grp 8041  df-gid 8042  df-nv 8214  df-va 8217  df-ba 8218  df-sm 8219  df-0v 8220  df-nm 8222

Copyright terms: Public domain