Theorem nvgcl 8242

Description: Closure law for the vector addition (group) operation of a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvgcl.1	|- X = (Base` U)
nvgcl.2	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvgcl	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Proof of Theorem nvgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgcl.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		nvgcl.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
3	1, 2	bafval 8226	. . 3 |- X = ran G
4	3	grpcl 8048	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)
5	2	nvgrp 8239	. 2 |- (U e. NrmCVec -> G e. Grp)
6	4, 5	syl3an1 861	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3189  (class class class)co 3970  Grpcgr 8037  NrmCVeccnv 8206  +vcpv 8207  Basecba 8208

This theorem is referenced by:  nvmf 8269  nvsubadd 8278  nvpncan2 8279  nvaddsub4 8284  nvdif 8296  nvpi 8297  nvabs 8304  imsmetlem 8326  nvelbl2 8329  nmcnilem 8340  va1cnlem 8348  ipval2lem2 8357  4ipval2 8361  ip1cnilem2 8377  ip1cnilem3 8378  ip1cnilem5 8380  ip1cnilem6 8381  sspival 8400  lnocoi 8421  0lno 8453  ip0i 8487  ip1ilem 8488  ip2i 8490  ipdirilem 8491  ipasslem10 8502  ipdi 8506  ip2dii 8507  pythi 8513  sspph 8518  ipblnfi 8519  ubthlem7 8538  minveclem16 8563  minveclem18 8565  minveclem19 8566  minveclem21 8568  minveclem35 8582  minveclem36 8583  minveclem37 8584  minveclem38 8585  hhshsslem2 9140

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-id 2842  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-fo 3203  df-fv 3205  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-grp 8041  df-gid 8042  df-abl 8103  df-vc 8168  df-nv 8214  df-va 8217  df-ba 8218  df-sm 8219  df-0v 8220  df-nm 8222

Copyright terms: Public domain