Theorem nvgrp 8236

Description: The vector addition operation of a normed complex vector space is a group.

Hypothesis

Ref	Expression
nvabl.1	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvgrp	|- (U e. NrmCVec -> G e. Grp)

Proof of Theorem nvgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvabl.1	. . 3 |- G = (+v` U)
2	1	nvabl 8235	. 2 |- (U e. NrmCVec -> G e. Abel)
3		ablgrp 8102	. 2 |- (G e. Abel -> G e. Grp)
4	2, 3	syl 10	1 |- (U e. NrmCVec -> G e. Grp)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  Grpcgr 8033  Abelcabl 8099  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204

This theorem is referenced by:  nvgf 8237  nvgcl 8239  nvass 8241  nvrcan 8244  nvlcan 8245  nvzcl 8255  nv0rid 8256  nv0lid 8257  invfval 8261  nvmval 8263  nvmfval 8264  nvnnncan2 8269  nvnegneg 8271  nvrinv 8273  nvlinv 8274  nvaddsubass 8278  nvmtri2 8300  va1cnlem 8345  hhshsslem1 9137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain