Theorem nvscl 8247

Description: Closure law for the scalar product operation of a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvscl.1	|- X = (Base` U)
nvscl.4	|- S = (.s` U)

Assertion

Ref	Expression
nvscl	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. CC /\ B e. X) -> (ASB) e. X)

Proof of Theorem nvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
2	1	vafval 8222	. . 3 |- (+v` U) = (1st` (1st` U))
3		nvscl.4	. . . 4 |- S = (.s` U)
4	3	smfval 8224	. . 3 |- S = (2nd` (1st` U))
5		nvscl.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
6	5, 1	bafval 8223	. . 3 |- X = ran (+v` U)
7	2, 4, 6	vccl 8169	. 2 |- (((1st` U) e. CVec /\ A e. CC /\ B e. X) -> (ASB) e. X)
8		eqid 1475	. . 3 |- (1st` U) = (1st` U)
9	8	nvvc 8234	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (1st` U) e. CVec)
10	7, 9	syl3an1 859	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. CC /\ B e. X) -> (ASB) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  1stc1st 4077  CCcc 5232  CVeccvc 8164  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206

This theorem is referenced by:  nvzs 8265  nvmf 8266  nvmdi 8270  nvnegneg 8271  nvsubadd 8275  nvpncan2 8276  nvaddsub4 8281  nvnncan 8283  nvdif 8293  nvpi 8294  nvmtri 8299  nvabs 8301  nvge0 8302  imsmetlem 8323  nmcnilem 8337  sm1cnilem 8347  ipval2lem2 8354  4ipval2 8358  ipval3 8359  ipval2lem5 8360  ip1cnilem1 8373  ip1cnilem2 8374  ip1cnilem3 8375  ip1cnilem5 8377  ip1cnilem6 8378  sspmval 8392  sspival 8397  lnocoi 8418  lnomul 8421  0lno 8450  nmlno0lem 8453  nmblolbii 8459  blocnilem 8464  ip0i 8484  ip1ilem 8485  ipdirilem 8488  ipasslem1 8490  ipasslem2 8491  ipasslem4 8493  ipasslem5 8494  ipasslem6 8495  ipasslem8 8497  ipasslem9 8498  ipasslem10 8499  ipasslem11 8500  ipassr 8506  ipsubdir 8508  siilem1 8511  ipblnfi 8516  ubthlem7 8535  ubthlem8 8536  ubthlem10 8538  minveclem16 8560  minveclem19 8563  minveclem35 8579  minveclem37 8581  minveclem38 8582  hhshsslem2 9138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain