Theorem nvzcl 8258

Description: Closure law for the zero vector of a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvzcl.1	|- X = (Base` U)
nvzcl.6	|- Z = (0v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvzcl	|- (U e. NrmCVec -> Z e. X)

Proof of Theorem nvzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
2	1	nvgrp 8239	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (+v` U) e. Grp)
3		nvzcl.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
4	3, 1	bafval 8226	. . 3 |- X = ran (+v` U)
5		nvzcl.6	. . . 4 |- Z = (0v` U)
6	1, 5	0vfval 8228	. . 3 |- Z = (Id` (+v` U))
7	4, 6	grpidcl 8062	. 2 |- ((+v` U) e. Grp -> Z e. X)
8	2, 7	syl 10	1 |- (U e. NrmCVec -> Z e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3189  Grpcgr 8037  NrmCVeccnv 8206  +vcpv 8207  Basecba 8208  0vcn0v 8210

This theorem is referenced by:  nvzs 8268  nvmeq0 8287  nvz0 8299  elimnv 8317  nvnd 8322  imsmetlem 8326  nvlmle 8336  ip0r 8373  ip0l 8374  sspz 8397  lno0 8420  lnomul 8424  nvo00 8427  nmosetn0 8431  nmoge0 8433  0oo 8452  0lno 8453  nmo0 8454  blocni 8468  ubthlem6 8537  minveclem2 8549  minvecex 8581  hl0cl 8607  hhshsslem2 9140

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-id 2842  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-fo 3203  df-fv 3205  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-grp 8041  df-gid 8042  df-abl 8103  df-vc 8168  df-nv 8214  df-va 8217  df-ba 8218  df-sm 8219  df-0v 8220  df-nm 8222

Copyright terms: Public domain