Theorem oancom 4633

Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60.

Assertion

Ref	Expression
oancom	|- (1o +o om) =/= (om +o 1o)

Proof of Theorem oancom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 4629	. . . 4 |- om e. On
2		1onn 4253	. . . 4 |- 1o e. om
3		oaabslem 4251	. . . 4 |- ((om e. On /\ 1o e. om) -> (1o +o om) = om)
4	1, 2, 3	mp2an 697	. . 3 |- (1o +o om) = om
5		omex 4627	. . . . 5 |- om e. V
6	5	sucid 3051	. . . 4 |- om e. suc om
7		oa1suc 4164	. . . . 5 |- (om e. On -> (om +o 1o) = suc om)
8	1, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (om +o 1o) = suc om
9	6, 8	eleqtrr 1547	. . 3 |- om e. (om +o 1o)
10	4, 9	eqeltr 1544	. 2 |- (1o +o om) e. (om +o 1o)
11		1on 4138	. . . . 5 |- 1o e. On
12		oacl 4170	. . . . 5 |- ((1o e. On /\ om e. On) -> (1o +o om) e. On)
13	11, 1, 12	mp2an 697	. . . 4 |- (1o +o om) e. On
14		oacl 4170	. . . . 5 |- ((om e. On /\ 1o e. On) -> (om +o 1o) e. On)
15	1, 11, 14	mp2an 697	. . . 4 |- (om +o 1o) e. On
16		onelpsst 2998	. . . 4 |- (((1o +o om) e. On /\ (om +o 1o) e. On) -> ((1o +o om) e. (om +o 1o) <-> ((1o +o om) (_ (om +o 1o) /\ (1o +o om) =/= (om +o 1o))))
17	13, 15, 16	mp2an 697	. . 3 |- ((1o +o om) e. (om +o 1o) <-> ((1o +o om) (_ (om +o 1o) /\ (1o +o om) =/= (om +o 1o)))
18	17	pm3.27bi 326	. 2 |- ((1o +o om) e. (om +o 1o) -> (1o +o om) =/= (om +o 1o))
19	10, 18	ax-mp 7	1 |- (1o +o om) =/= (om +o 1o)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   (_ wss 2047  Oncon0 2948  suc csuc 2950  omcom 3131  (class class class)co 3963  1oc1o 4128   +o coa 4130

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1o 4133  df-oadd 4135

Copyright terms: Public domain