Theorem oasuc 4161

Description: Addition with successor. Definition 8.1 of [TakeutiZaring] p. 56.

Assertion

Ref	Expression
oasuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = suc (A +o B))

Proof of Theorem oasuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuct 3943	. . 3 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
2	1	adantl 388	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
3		oav 4148	. . 3 |- ((A e. On /\ suc B e. On) -> (A +o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B))
4		suceloni 3060	. . 3 |- (B e. On -> suc B e. On)
5	3, 4	sylan2 451	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B))
6		oav 4148	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))
7	6	fveq2d 3726	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ({<.x, y>. | y = suc x}` (A +o B)) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
8		oprex 3981	. . . 4 |- (A +o B) e. V
9	8	sucex 3048	. . . 4 |- suc (A +o B) e. V
10		suceq 3032	. . . 4 |- (x = (A +o B) -> suc x = suc (A +o B))
11	8, 9, 10	fvopab 3788	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = suc x}` (A +o B)) = suc (A +o B)
12	7, 11	syl5eqr 1520	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> suc (A +o B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
13	2, 5, 12	3eqtr4d 1516	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = suc (A +o B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2664  Oncon0 2946  suc csuc 2948  ` cfv 3180  reccrdg 3929  (class class class)co 3961   +o coa 4128

This theorem is referenced by:  oa1suc 4162  oacl 4168  oa0r 4171  oaordi 4178  oawordri 4182  oawordeulem 4186  oalimcl 4192  oaass 4193  oarec 4194  odi 4208  nnasuc 4223  nnacom 4231  oaabs 4250

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2691  ax-sep 2701  ax-nul 2708  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2502  df-iun 2566  df-br 2618  df-opab 2665  df-tr 2679  df-eprel 2830  df-id 2833  df-po 2838  df-so 2848  df-fr 2915  df-we 2932  df-ord 2949  df-on 2950  df-lim 2951  df-suc 2952  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fn 3191  df-fv 3196  df-rdg 3930  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-oadd 4133

Copyright terms: Public domain