Theorem omcl 4178

Description: Closure law for ordinal multiplication. Proposition 8.16 of [TakeutiZaring] p. 57.

Assertion

Ref	Expression
omcl	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)

Proof of Theorem omcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3976	. . . 4 |- (x = (/) -> (A .o x) = (A .o (/)))
2	1	eleq1d 1543	. . 3 |- (x = (/) -> ((A .o x) e. On <-> (A .o (/)) e. On))
3		opreq2 3976	. . . 4 |- (x = y -> (A .o x) = (A .o y))
4	3	eleq1d 1543	. . 3 |- (x = y -> ((A .o x) e. On <-> (A .o y) e. On))
5		opreq2 3976	. . . 4 |- (x = suc y -> (A .o x) = (A .o suc y))
6	5	eleq1d 1543	. . 3 |- (x = suc y -> ((A .o x) e. On <-> (A .o suc y) e. On))
7		opreq2 3976	. . . 4 |- (x = B -> (A .o x) = (A .o B))
8	7	eleq1d 1543	. . 3 |- (x = B -> ((A .o x) e. On <-> (A .o B) e. On))
9		om0 4163	. . . 4 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))
10		0elon 3029	. . . 4 |- (/) e. On
11	9, 10	syl6eqel 1559	. . 3 |- (A e. On -> (A .o (/)) e. On)
12		omsuc 4172	. . . . . . . . 9 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (A .o suc y) = ((A .o y) +o A))
13	12	eleq1d 1543	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ y e. On) -> ((A .o suc y) e. On <-> ((A .o y) +o A) e. On))
14		oacl 4177	. . . . . . . 8 |- (((A .o y) e. On /\ A e. On) -> ((A .o y) +o A) e. On)
15	13, 14	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (((A .o y) e. On /\ A e. On) -> (A .o suc y) e. On))
16	15	exp4b 381	. . . . . 6 |- (A e. On -> (y e. On -> ((A .o y) e. On -> (A e. On -> (A .o suc y) e. On))))
17	16	com24 37	. . . . 5 |- (A e. On -> (A e. On -> ((A .o y) e. On -> (y e. On -> (A .o suc y) e. On))))
18	17	pm2.43i 64	. . . 4 |- (A e. On -> ((A .o y) e. On -> (y e. On -> (A .o suc y) e. On)))
19	18	com3r 35	. . 3 |- (y e. On -> (A e. On -> ((A .o y) e. On -> (A .o suc y) e. On)))
20		visset 1816	. . . . . . . 8 |- x e. V
21		omlim 4175	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ (x e. V /\ Lim x)) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
22	20, 21	mpanr1 711	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ Lim x) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
23	22	ancoms 438	. . . . . 6 |- ((Lim x /\ A e. On) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
24	23	eleq1d 1543	. . . . 5 |- ((Lim x /\ A e. On) -> ((A .o x) e. On <-> U_y e. x (A .o y) e. On))
25		oprex 3990	. . . . . 6 |- (A .o y) e. V
26	20, 25	iunon 3916	. . . . 5 |- (A.y e. x (A .o y) e. On -> U_y e. x (A .o y) e. On)
27	24, 26	syl5bir 210	. . . 4 |- ((Lim x /\ A e. On) -> (A.y e. x (A .o y) e. On -> (A .o x) e. On))
28	27	ex 373	. . 3 |- (Lim x -> (A e. On -> (A.y e. x (A .o y) e. On -> (A .o x) e. On)))
29	2, 4, 6, 8, 11, 19, 28	tfinds3 3173	. 2 |- (B e. On -> (A e. On -> (A .o B) e. On))
30	29	impcom 351	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814  (/)c0 2284  U_ciun 2571  Oncon0 2955  Lim wlim 2956  suc csuc 2957  (class class class)co 3970   +o coa 4137   .o comu 4138

This theorem is referenced by:  oecl 4179  omordi 4204  omord2 4205  omcan 4207  omword 4208  omwordri 4210  om00 4213  om00el 4214  omlimcl 4216  odi 4217  omass 4218  oneo 4219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-oadd 4142  df-omul 4143

Copyright terms: Public domain