Theorem opelxpex2 3279

Description: The second member of an ordered pair of classes in a cross product exists when the order pair doesn't belong to I.

Assertion

Ref	Expression
opelxpex2	|- (<.A, B>. e. ((C X. D) \ I) -> B e. V)

Proof of Theorem opelxpex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 2057	. 2 |- (<.A, B>. e. ((C X. D) \ I) <-> (<.A, B>. e. (C X. D) /\ -. <.A, B>. e. I))
2		opelxp1 3205	. . . . . 6 |- (<.A, B>. e. (C X. D) -> A e. C)
3		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (<.A, B>. = <.A, A>. -> (<.A, B>. e. I <-> <.A, A>. e. I))
4		ididg 3278	. . . . . . . 8 |- (A e. C -> AIA)
5		df-br 2620	. . . . . . . 8 |- (AIA <-> <.A, A>. e. I)
6	4, 5	sylib 198	. . . . . . 7 |- (A e. C -> <.A, A>. e. I)
7	3, 6	syl5cbir 211	. . . . . 6 |- (A e. C -> (<.A, B>. = <.A, A>. -> <.A, B>. e. I))
8	2, 7	syl 10	. . . . 5 |- (<.A, B>. e. (C X. D) -> (<.A, B>. = <.A, A>. -> <.A, B>. e. I))
9		opprc2 2499	. . . . 5 |- (-. B e. V -> <.A, B>. = <.A, A>.)
10	8, 9	syl5 21	. . . 4 |- (<.A, B>. e. (C X. D) -> (-. B e. V -> <.A, B>. e. I))
11	10	con1d 93	. . 3 |- (<.A, B>. e. (C X. D) -> (-. <.A, B>. e. I -> B e. V))
12	11	imp 350	. 2 |- ((<.A, B>. e. (C X. D) /\ -. <.A, B>. e. I) -> B e. V)
13	1, 12	sylbi 199	1 |- (<.A, B>. e. ((C X. D) \ I) -> B e. V)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   \ cdif 2044  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Icid 2831   X. cxp 3168

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185

Copyright terms: Public domain