Theorem oprssdm 4042

Description: Domain of closure of an operation.

Hypotheses

Ref	Expression
oprssdm.1	|- -. (/) e. S
oprssdm.2	|- ((x e. S /\ y e. S) -> (xFy) e. S)

Assertion

Ref	Expression
oprssdm	|- (S X. S) (_ dom F

Distinct variable groups:   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem oprssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 3255	. 2 |- Rel (S X. S)
2		visset 1813	. . . 4 |- y e. V
3	2	opelxp 3214	. . 3 |- (<.x, y>. e. (S X. S) <-> (x e. S /\ y e. S))
4		ndmfv 3745	. . . . 5 |- (-. <.x, y>. e. dom F -> (F` <.x, y>.) = (/))
5		df-opr 3965	. . . . . . 7 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
6	5	eqeq1i 1482	. . . . . 6 |- ((xFy) = (/) <-> (F` <.x, y>.) = (/))
7		oprssdm.1	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. S
8		eleq1 1534	. . . . . . . 8 |- ((xFy) = (/) -> ((xFy) e. S <-> (/) e. S))
9	7, 8	mtbiri 717	. . . . . . 7 |- ((xFy) = (/) -> -. (xFy) e. S)
10		oprssdm.2	. . . . . . 7 |- ((x e. S /\ y e. S) -> (xFy) e. S)
11	9, 10	nsyl 116	. . . . . 6 |- ((xFy) = (/) -> -. (x e. S /\ y e. S))
12	6, 11	sylbir 201	. . . . 5 |- ((F` <.x, y>.) = (/) -> -. (x e. S /\ y e. S))
13	4, 12	syl 10	. . . 4 |- (-. <.x, y>. e. dom F -> -. (x e. S /\ y e. S))
14	13	a3i 74	. . 3 |- ((x e. S /\ y e. S) -> <.x, y>. e. dom F)
15	3, 14	sylbi 199	. 2 |- (<.x, y>. e. (S X. S) -> <.x, y>. e. dom F)
16	1, 15	relssi 3248	1 |- (S X. S) (_ dom F

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  (/)c0 2280  <.cop 2411   X. cxp 3168  dom cdm 3170  ` cfv 3182  (class class class)co 3963

This theorem is referenced by:  dmaddpq 5051  dmmulpq 5053  dmaddsr 5186  dmmulsr 5187  axaddopr 5257  axmulopr 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain