Theorem oteqex 2799

Description: Equivalence of existence implied by equality of ordered triples.

Assertion

Ref	Expression
oteqex	|- (<.<.A, B>., C>. = <.<.R, S>., T>. -> (A e. V <-> R e. V))

Proof of Theorem oteqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 2782	. . 3 |- <.A, B>. e. V
2	1	opth1 2786	. 2 |- (<.<.A, B>., C>. = <.<.R, S>., T>. -> <.A, B>. = <.R, S>.)
3		opeqex 2798	. 2 |- (<.A, B>. = <.R, S>. -> (A e. V <-> R e. V))
4	2, 3	syl 10	1 |- (<.<.A, B>., C>. = <.<.R, S>., T>. -> (A e. V <-> R e. V))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  <.cop 2411

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416

Copyright terms: Public domain