Theorem peano1 3149

Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 3149 through peano5 3153 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
peano1	|- (/) e. om

Proof of Theorem peano1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 3146	. 2 |- Lim om
2		0ellim 3031	. 2 |- (Lim om -> (/) e. om)
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (/) e. om

Syntax hints:   e. wcel 958  (/)c0 2280  Lim wlim 2949  omcom 3131

This theorem is referenced by:  fr0t 3952  nnmcl 4230  nnecl 4231  nnmsucr 4240  1onn 4253  nneob 4255  snfi 4432  snfiOLD 4433  0sdom1dom 4525  infn0 4533  unblem2 4541  unfilem3 4550  unifiOLD 4557  inf0 4606  infeq5 4621  axinf2 4624  dfom3 4630  noinfep 4640  trcl 4645  cardlim 4851  alephgeom 4882  alephfplem4 4899  mulclpi 5021  1lt2pi 5032  om2uzran 6300  uzrdgini 6303  emfin 10477  emfinOLD 10478  top2usne 10549

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132

Copyright terms: Public domain