Theorem pjmvalt 9238

Description: The value of the projection map.

Assertion

Ref	Expression
pjmvalt	|- (H e. CH -> (proj` H) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})})

Distinct variable group:   x,w,y,z,H

Proof of Theorem pjmvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1535	. . . . . . . . 9 |- (h = H -> (z e. h <-> z e. H))
2		fveq2 3724	. . . . . . . . . 10 |- (h = H -> (_|_` h) = (_|_` H))
3	2	rexeq1d 1790	. . . . . . . . 9 |- (h = H -> (E.w e. (_|_` h)x = (z +h w) <-> E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)))
4	1, 3	anbi12d 628	. . . . . . . 8 |- (h = H -> ((z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)) <-> (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +h w))))
5	4	abbidv 1577	. . . . . . 7 |- (h = H -> {z | (z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +h w))} = {z | (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +h w))})
6		df-rab 1652	. . . . . . 7 |- {z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} = {z | (z e. h /\ E.w e. (_|_` h)x = (z +h w))}
7		df-rab 1652	. . . . . . 7 |- {z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)} = {z | (z e. H /\ E.w e. (_|_` H)x = (z +h w))}
8	5, 6, 7	3eqtr4g 1531	. . . . . 6 |- (h = H -> {z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} = {z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})
9	8	unieqd 2512	. . . . 5 |- (h = H -> U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})
10	9	eqeq2d 1486	. . . 4 |- (h = H -> (y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)} <-> y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)}))
11	10	anbi2d 616	. . 3 |- (h = H -> ((x e. H~ /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)}) <-> (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})))
12	11	opabbidv 2670	. 2 |- (h = H -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)})} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})})
13		df-pj 9237	. 2 |- proj = {<.h, f>. | (h e. CH /\ f = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. h | E.w e. (_|_` h)x = (z +h w)})})}
14		ax-hilex 8869	. . 3 |- H~ e. V
15	14	opabex2 3610	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})} e. V
16	12, 13, 15	fvopab4 3780	1 |- (H e. CH -> (proj` H) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = U.{z e. H | E.w e. (_|_` H)x = (z +h w)})})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646  {crab 1648  U.cuni 2503  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  H~chil 8788   +h cva 8789  CHcch 8798  _|_cort 8799  projcpj 8806

This theorem is referenced by:  pjvalt 9239  pjfn 9646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-pj 9237

Copyright terms: Public domain