Theorem pwuninel 4480

Description: The power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set.

Assertion

Ref	Expression
pwuninel	|- -. P~U.A e. A

Proof of Theorem pwuninel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomirr 4466	. . 3 |- -. P~U.A ~< P~U.A
2		uniexb 2905	. . . 4 |- (A e. V <-> U.A e. V)
3		ssdom2g 4404	. . . . . 6 |- (U.A e. V -> (P~U.A (_ U.A -> P~U.A ~<_ U.A))
4		domsdomtr 4470	. . . . . . . 8 |- ((P~U.A ~<_ U.A /\ U.A ~< P~U.A) -> P~U.A ~< P~U.A)
5		canth2g 4479	. . . . . . . 8 |- (U.A e. V -> U.A ~< P~U.A)
6	4, 5	sylan2 451	. . . . . . 7 |- ((P~U.A ~<_ U.A /\ U.A e. V) -> P~U.A ~< P~U.A)
7	6	expcom 374	. . . . . 6 |- (U.A e. V -> (P~U.A ~<_ U.A -> P~U.A ~< P~U.A))
8	3, 7	syld 27	. . . . 5 |- (U.A e. V -> (P~U.A (_ U.A -> P~U.A ~< P~U.A))
9		elssuni 2524	. . . . 5 |- (P~U.A e. A -> P~U.A (_ U.A)
10	8, 9	syl5 21	. . . 4 |- (U.A e. V -> (P~U.A e. A -> P~U.A ~< P~U.A))
11	2, 10	sylbi 199	. . 3 |- (A e. V -> (P~U.A e. A -> P~U.A ~< P~U.A))
12	1, 11	mtoi 107	. 2 |- (A e. V -> -. P~U.A e. A)
13		elisset 1815	. . . 4 |- (P~U.A e. A -> P~U.A e. V)
14		pwexb 2906	. . . . 5 |- (U.A e. V <-> P~U.A e. V)
15	2, 14	bitr 173	. . . 4 |- (A e. V <-> P~U.A e. V)
16	13, 15	sylibr 200	. . 3 |- (P~U.A e. A -> A e. V)
17	16	con3i 98	. 2 |- (-. A e. V -> -. P~U.A e. A)
18	12, 17	pm2.61i 126	1 |- -. P~U.A e. A

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   e. wcel 958  Vcvv 1809   (_ wss 2045  P~cpw 2399  U.cuni 2501   class class class wbr 2617   ~<_ cdom 4363   ~< csdm 4364

This theorem is referenced by:  pnfnre 5484  spwnex3 8612

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2691  ax-sep 2701  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2502  df-br 2618  df-opab 2665  df-id 2833  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fn 3191  df-f 3192  df-f1 3193  df-fo 3194  df-f1o 3195  df-fv 3196  df-er 4259  df-en 4365  df-dom 4366  df-sdom 4367

Copyright terms: Public domain