Theorem ralcom2 1776

Description: Commutation of restricted quantifiers. Note that x and y needn't be distinct (this makes the proof longer but illustrates the use of dvelim 1352).

Assertion

Ref	Expression
ralcom2	|- (A.x e. A A.y e. A ph -> A.y e. A A.x e. A ph)

Distinct variable groups:   y,A   x,A

Proof of Theorem ralcom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 59	. . . 4 |- (A.x(x e. A -> A.x(x e. A -> ph)) -> A.x(x e. A -> A.x(x e. A -> ph)))
2		eleq1 1534	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (x e. A <-> y e. A))
3	2	a4s 984	. . . . . . . . 9 |- (A.x x = y -> (x e. A <-> y e. A))
4	3	imbi1d 613	. . . . . . . 8 |- (A.x x = y -> ((x e. A -> ph) <-> (y e. A -> ph)))
5	4	dral1 1154	. . . . . . 7 |- (A.x x = y -> (A.x(x e. A -> ph) <-> A.y(y e. A -> ph)))
6	5	imbi2d 612	. . . . . 6 |- (A.x x = y -> ((x e. A -> A.x(x e. A -> ph)) <-> (x e. A -> A.y(y e. A -> ph))))
7	6	dral2 1155	. . . . 5 |- (A.x x = y -> (A.x(x e. A -> A.x(x e. A -> ph)) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph))))
8	3	imbi1d 613	. . . . . 6 |- (A.x x = y -> ((x e. A -> A.x(x e. A -> ph)) <-> (y e. A -> A.x(x e. A -> ph))))
9	8	dral1 1154	. . . . 5 |- (A.x x = y -> (A.x(x e. A -> A.x(x e. A -> ph)) <-> A.y(y e. A -> A.x(x e. A -> ph))))
10	7, 9	imbi12d 626	. . . 4 |- (A.x x = y -> ((A.x(x e. A -> A.x(x e. A -> ph)) -> A.x(x e. A -> A.x(x e. A -> ph))) <-> (A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> A.y(y e. A -> A.x(x e. A -> ph)))))
11	1, 10	mpbii 193	. . 3 |- (A.x x = y -> (A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> A.y(y e. A -> A.x(x e. A -> ph))))
12		hbnae 1147	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = y -> A.x -. A.x x = y)
13	12	hbal 1005	. . . . . 6 |- (A.y -. A.x x = y -> A.xA.y -. A.x x = y)
14		hbnae 1147	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> A.y -. A.x x = y)
15		ax-17 971	. . . . . . . . . 10 |- (z e. A -> A.y z e. A)
16		eleq1 1534	. . . . . . . . . 10 |- (z = x -> (z e. A <-> x e. A))
17	15, 16	dvelim 1352	. . . . . . . . 9 |- (-. A.y y = x -> (x e. A -> A.y x e. A))
18	17	nalequcoms 1144	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> (x e. A -> A.y x e. A))
19		hba1 1003	. . . . . . . . 9 |- (A.y(y e. A -> ph) -> A.yA.y(y e. A -> ph))
20	19	a1i 8	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> (A.y(y e. A -> ph) -> A.yA.y(y e. A -> ph)))
21	14, 18, 20	hbimd 1110	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = y -> ((x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> A.y(x e. A -> A.y(y e. A -> ph))))
22	21	a4s 984	. . . . . 6 |- (A.y -. A.x x = y -> ((x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> A.y(x e. A -> A.y(y e. A -> ph))))
23	13, 22	hbald 1113	. . . . 5 |- (A.y -. A.x x = y -> (A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> A.yA.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph))))
24		ax-17 971	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> A.x z e. A)
25		eleq1 1534	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (z e. A <-> y e. A))
26	24, 25	dvelim 1352	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = y -> (y e. A -> A.x y e. A))
27		ax-4 973	. . . . . . . . . 10 |- (A.y(y e. A -> ph) -> (y e. A -> ph))
28	27	imim2i 17	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> (x e. A -> (y e. A -> ph)))
29	28	com23 32	. . . . . . . 8 |- ((x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> (y e. A -> (x e. A -> ph)))
30	29	19.20ii 995	. . . . . . 7 |- (A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> (A.x y e. A -> A.x(x e. A -> ph)))
31	26, 30	syl9 57	. . . . . 6 |- (-. A.x x = y -> (A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> (y e. A -> A.x(x e. A -> ph))))
32	31	19.20ii 995	. . . . 5 |- (A.y -. A.x x = y -> (A.yA.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> A.y(y e. A -> A.x(x e. A -> ph))))
33	23, 32	syld 27	. . . 4 |- (A.y -. A.x x = y -> (A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> A.y(y e. A -> A.x(x e. A -> ph))))
34	33	hbnaes 1148	. . 3 |- (-. A.x x = y -> (A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> A.y(y e. A -> A.x(x e. A -> ph))))
35	11, 34	pm2.61i 126	. 2 |- (A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)) -> A.y(y e. A -> A.x(x e. A -> ph)))
36		df-ral 1649	. . 3 |- (A.x e. A A.y e. A ph <-> A.x(x e. A -> A.y e. A ph))
37		df-ral 1649	. . . . 5 |- (A.y e. A ph <-> A.y(y e. A -> ph))
38	37	imbi2i 185	. . . 4 |- ((x e. A -> A.y e. A ph) <-> (x e. A -> A.y(y e. A -> ph)))
39	38	albii 999	. . 3 |- (A.x(x e. A -> A.y e. A ph) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)))
40	36, 39	bitr 173	. 2 |- (A.x e. A A.y e. A ph <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. A -> ph)))
41		df-ral 1649	. . 3 |- (A.y e. A A.x e. A ph <-> A.y(y e. A -> A.x e. A ph))
42		df-ral 1649	. . . . 5 |- (A.x e. A ph <-> A.x(x e. A -> ph))
43	42	imbi2i 185	. . . 4 |- ((y e. A -> A.x e. A ph) <-> (y e. A -> A.x(x e. A -> ph)))
44	43	albii 999	. . 3 |- (A.y(y e. A -> A.x e. A ph) <-> A.y(y e. A -> A.x(x e. A -> ph)))
45	41, 44	bitr 173	. 2 |- (A.y e. A A.x e. A ph <-> A.y(y e. A -> A.x(x e. A -> ph)))
46	35, 40, 45	3imtr4 219	1 |- (A.x e. A A.y e. A ph -> A.y e. A A.x e. A ph)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645

This theorem is referenced by:  tz7.48lem 3955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ral 1649

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