Theorem rnbra 10040

Description: The set of bras equals the set of continuous linear functionals.

Assertion

Ref	Expression
rnbra	|- ran bra = (LinFn i^i ConFn)

Proof of Theorem rnbra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bravalt 9867	. . . . . . . 8 |- (z e. H~ -> (bra` z) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
2	1	eqeq2d 1486	. . . . . . 7 |- (z e. H~ -> (t = (bra` z) <-> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))}))
3		pm3.27 323	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> t = (bra` z))
4		bralnfnt 9872	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. H~ -> (bra` z) e. LinFn)
5	4	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> (bra` z) e. LinFn)
6	3, 5	eqeltrd 1548	. . . . . . . . 9 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> t e. LinFn)
7		fveq2 3724	. . . . . . . . . . 11 |- (t = (bra` z) -> (normfn` t) = (normfn` (bra` z)))
8	7	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> (normfn` t) = (normfn` (bra` z)))
9		brabnt 10039	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. H~ -> (normfn` (bra` z)) e. RR)
10	9	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> (normfn` (bra` z)) e. RR)
11	8, 10	eqeltrd 1548	. . . . . . . . 9 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> (normfn` t) e. RR)
12	6, 11	jca 288	. . . . . . . 8 |- ((z e. H~ /\ t = (bra` z)) -> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR))
13	12	ex 373	. . . . . . 7 |- (z e. H~ -> (t = (bra` z) -> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR)))
14	2, 13	sylbird 205	. . . . . 6 |- (z e. H~ -> (t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} -> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR)))
15	14	r19.23aiv 1743	. . . . 5 |- (E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} -> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR))
16		riesz1t 9998	. . . . . . 7 |- (t e. LinFn -> ((normfn` t) e. RR <-> E.z e. H~ A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z)))
17	16	biimpa 416	. . . . . 6 |- ((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) -> E.z e. H~ A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z))
18		lnfnft 9811	. . . . . . . . . . . 12 |- (t e. LinFn -> t:H~-->CC)
19	18	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . 11 |- (((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) /\ z e. H~) -> t:H~-->CC)
20		fopabfv 3831	. . . . . . . . . . . 12 |- (t:H~-->CC <-> (t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} /\ A.x e. H~ (t` x) e. CC))
21	20	pm3.26bi 322	. . . . . . . . . . 11 |- (t:H~-->CC -> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))})
22	19, 21	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) /\ z e. H~) -> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))})
23		id 59	. . . . . . . . . 10 |- ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
24	22, 23	sylan9eq 1527	. . . . . . . . 9 |- ((((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) /\ z e. H~) /\ {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))}) -> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
25	24	ex 373	. . . . . . . 8 |- (((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) /\ z e. H~) -> ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} -> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))}))
26		hbra1 1687	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> A.xA.x e. H~ (t` x) = (x .ih z))
27		ax-17 971	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> A.yA.x e. H~ (t` x) = (x .ih z))
28		ra4 1694	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> (x e. H~ -> (t` x) = (x .ih z)))
29		eqeq2 1484	. . . . . . . . . . 11 |- ((t` x) = (x .ih z) -> (y = (t` x) <-> y = (x .ih z)))
30	28, 29	syl6 22	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> (x e. H~ -> (y = (t` x) <-> y = (x .ih z))))
31	30	pm5.32d 647	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> ((x e. H~ /\ y = (t` x)) <-> (x e. H~ /\ y = (x .ih z))))
32	26, 27, 31	opabbid 2669	. . . . . . . 8 |- (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (t` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
33	25, 32	syl5 21	. . . . . . 7 |- (((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) /\ z e. H~) -> (A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))}))
34	33	r19.22dva 1739	. . . . . 6 |- ((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) -> (E.z e. H~ A.x e. H~ (t` x) = (x .ih z) -> E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))}))
35	17, 34	mpd 26	. . . . 5 |- ((t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR) -> E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
36	15, 35	impbi 157	. . . 4 |- (E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} <-> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR))
37		lnfncnbdt 9992	. . . . 5 |- (t e. LinFn -> (t e. ConFn <-> (normfn` t) e. RR))
38	37	pm5.32i 645	. . . 4 |- ((t e. LinFn /\ t e. ConFn) <-> (t e. LinFn /\ (normfn` t) e. RR))
39	36, 38	bitr4 176	. . 3 |- (E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} <-> (t e. LinFn /\ t e. ConFn))
40		ax-hilex 8869	. . . . 5 |- H~ e. V
41	40	opabex2 3610	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} e. V
42		df-bra 9776	. . . 4 |- bra = {<.z, t>. | (z e. H~ /\ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})}
43	41, 42	elrnopab 3801	. . 3 |- (t e. ran bra <-> E.z e. H~ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})
44		elin 2207	. . 3 |- (t e. (LinFn i^i ConFn) <-> (t e. LinFn /\ t e. ConFn))
45	39, 43, 44	3bitr4 183	. 2 |- (t e. ran bra <-> t e. (LinFn i^i ConFn))
46	45	eqriv 1474	1 |- ran bra = (LinFn i^i ConFn)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   i^i cin 2046  {copab 2666  ran crn 3171  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  H~chil 8788   .ih csp 8793  norm_fncnmf 8820  ConFnccnf 8822  LinFnclf 8823  bracbr 8825

This theorem is referenced by:  bra11 10041  cnvbravalt 10043

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-haus 7782  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-ip 8350  df-ph 8472  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-hlim 8841  df-hcau 8842  df-sh 9076  df-ch <