Theorem rninxp 3498

Description: Range of the intersection with a cross product.

Assertion

Ref	Expression
rninxp	|- (ran ( C i^i (A X. B)) = B <-> A.y e. B E.x e. A xCy)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,C,y

Proof of Theorem rninxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 2070	. 2 |- (B (_ ran ( C |` A) <-> A.y e. B y e. ran ( C |` A))
2		ssrnres 3497	. 2 |- (B (_ ran ( C |` A) <-> ran ( C i^i (A X. B)) = B)
3		ancom 438	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. C /\ x e. A) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. C))
4		visset 1820	. . . . . . 7 |- y e. V
5	4	opelres 3388	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (C |` A) <-> (<.x, y>. e. C /\ x e. A))
6		df-br 2635	. . . . . . 7 |- (xCy <-> <.x, y>. e. C)
7	6	anbi2i 483	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ xCy) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. C))
8	3, 5, 7	3bitr4i 183	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (C |` A) <-> (x e. A /\ xCy))
9	8	exbii 1055	. . . 4 |- (E.x<.x, y>. e. (C |` A) <-> E.x(x e. A /\ xCy))
10	4	elrn2 3365	. . . 4 |- (y e. ran ( C |` A) <-> E.x<.x, y>. e. (C |` A))
11		df-rex 1657	. . . 4 |- (E.x e. A xCy <-> E.x(x e. A /\ xCy))
12	9, 10, 11	3bitr4i 183	. . 3 |- (y e. ran ( C |` A) <-> E.x e. A xCy)
13	12	ralbii 1674	. 2 |- (A.y e. B y e. ran ( C |` A) <-> A.y e. B E.x e. A xCy)
14	1, 2, 13	3bitr3i 181	1 |- (ran ( C i^i (A X. B)) = B <-> A.y e. B E.x e. A xCy)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 960   e. wcel 962  E.wex 984  A.wral 1652  E.wrex 1653   i^i cin 2057   (_ wss 2058  <.cop 2423   class class class wbr 2634   X. cxp 3184  ran crn 3187   |` cres 3188

This theorem is referenced by:  dminxp 3499  fncnv 3577  exfo 3838  brdom3 4818  brdom5 4819  brdom4 4820

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-sep 2718  ax-pow 2758  ax-pr 2795

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-v 1819  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-nul 2292  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-op 2428  df-br 2635  df-opab 2682  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206

Copyright terms: Public domain