Theorem ruclem33 7575

Description: Lemma for ruc 7582. The set of values of our constructed function G is a non-empty subset of RR. This is a helper lemma for theorems involving supremum.

Hypotheses

Ref	Expression
ruclem.0	|- F:NN-->RR
ruclem.1	|- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))
ruclem.2	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (RR X. RR) /\ y e. RR) /\ z = if(((1st` x) < y /\ y < (2nd` x)), <.(((2 x. y) + (2nd` x)) / 3), ((y + (2 x. (2nd` x))) / 3)>., <.(((2 x. (1st` x)) + (2nd` x)) / 3), (((1st` x) + (2 x. (2nd` x))) / 3)>.))}
ruclem.3	|- G = (1st o. (D seq1 C))
ruclem.4	|- H = (2nd o. (D seq1 C))

Assertion

Ref	Expression
ruclem33	|- (ran G (_ RR /\ ran G =/= (/) /\ E.w e. RR A.v e. ran G v <_ w)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v   w,C,v   w,D,v   w,G,v   w,H,v   z,F,w,v

Proof of Theorem ruclem33

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem.0	. . . 4 |- F:NN-->RR
2		ruclem.1	. . . 4 |- C = ({<.1, <.((F` 1) + 1), ((F` 1) + 2)>.>.} u. (F |` (NN \ {1})))
3		ruclem.2	. . . 4 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (RR X. RR) /\ y e. RR) /\ z = if(((1st` x) < y /\ y < (2nd` x)), <.(((2 x. y) + (2nd` x)) / 3), ((y + (2 x. (2nd` x))) / 3)>., <.(((2 x. (1st` x)) + (2nd` x)) / 3), (((1st` x) + (2 x. (2nd` x))) / 3)>.))}
4		ruclem.3	. . . 4 |- G = (1st o. (D seq1 C))
5		ruclem.4	. . . 4 |- H = (2nd o. (D seq1 C))
6	1, 2, 3, 4, 5	ruclem17 7559	. . 3 |- G:NN-->RR
7		frn 3649	. . 3 |- (G:NN-->RR -> ran G (_ RR)
8	6, 7	ax-mp 7	. 2 |- ran G (_ RR
9		ffn 3643	. . . . 5 |- (G:NN-->RR -> G Fn NN)
10	6, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- G Fn NN
11		1nn 5948	. . . 4 |- 1 e. NN
12		fnfvelrn 3829	. . . 4 |- ((G Fn NN /\ 1 e. NN) -> (G` 1) e. ran G)
13	10, 11, 12	mp2an 701	. . 3 |- (G` 1) e. ran G
14		ne0i 2297	. . 3 |- ((G` 1) e. ran G -> ran G =/= (/))
15	13, 14	ax-mp 7	. 2 |- ran G =/= (/)
16	1, 2, 3, 4, 5, 11	ruclem23 7565	. . 3 |- (H` 1) e. RR
17		fvelrnb 3776	. . . . . 6 |- (G Fn NN -> (v e. ran G <-> E.w e. NN (G` w) = v))
18	10, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- (v e. ran G <-> E.w e. NN (G` w) = v)
19		breq1 2637	. . . . . . 7 |- ((G` w) = v -> ((G` w) <_ (H` 1) <-> v <_ (H` 1)))
20		ltle 5540	. . . . . . . 8 |- (((G` w) e. RR /\ (H` 1) e. RR) -> ((G` w) < (H` 1) -> (G` w) <_ (H` 1)))
21		fveq2 3740	. . . . . . . . . . 11 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> (G` w) = (G` if(w e. NN, w, 1)))
22	21	eleq1d 1547	. . . . . . . . . 10 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> ((G` w) e. RR <-> (G` if(w e. NN, w, 1)) e. RR))
23	11	elimel 2406	. . . . . . . . . . 11 |- if(w e. NN, w, 1) e. NN
24	1, 2, 3, 4, 5, 23	ruclem22 7564	. . . . . . . . . 10 |- (G` if(w e. NN, w, 1)) e. RR
25	22, 24	dedth 2395	. . . . . . . . 9 |- (w e. NN -> (G` w) e. RR)
26	25, 16	jctir 293	. . . . . . . 8 |- (w e. NN -> ((G` w) e. RR /\ (H` 1) e. RR))
27	21	breq1d 2644	. . . . . . . . 9 |- (w = if(w e. NN, w, 1) -> ((G` w) < (H` 1) <-> (G` if(w e. NN, w, 1)) < (H` 1)))
28	1, 2, 3, 4, 5, 23, 11	ruclem32 7574	. . . . . . . . 9 |- (G` if(w e. NN, w, 1)) < (H` 1)
29	27, 28	dedth 2395	. . . . . . . 8 |- (w e. NN -> (G` w) < (H` 1))
30	20, 26, 29	sylc 68	. . . . . . 7 |- (w e. NN -> (G` w) <_ (H` 1))
31	19, 30	syl5cbi 209	. . . . . 6 |- (w e. NN -> ((G` w) = v -> v <_ (H` 1)))
32	31	r19.23aiv 1750	. . . . 5 |- (E.w e. NN (G` w) = v -> v <_ (H` 1))
33	18, 32	sylbi 199	. . . 4 |- (v e. ran G -> v <_ (H` 1))
34	33	rgen 1705	. . 3 |- A.v e. ran G v <_ (H` 1)
35		breq2 2638	. . . . 5 |- (w = (H` 1) -> (v <_ w <-> v <_ (H` 1)))
36	35	ralbidv 1670	. . . 4 |- (w = (H` 1) -> (A.v e. ran G v <_ w <-> A.v e. ran G v <_ (H` 1)))
37	36	rcla4ev 1884	. . 3 |- (((H` 1) e. RR /\ A.v e. ran G v <_ (H` 1)) -> E.w e. RR A.v e. ran G v <_ w)
38	16, 34, 37	mp2an 701	. 2 |- E.w e. RR A.v e. ran G v <_ w
39	8, 15, 38	3pm3.2i 822	1 |- (ran G (_ RR /\ ran G =/= (/) /\ E.w e. RR A.v e. ran G v <_ w)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 779   = wceq 960   e. wcel 962   =/= wne 1592  A.wral 1652  E.wrex 1653   \ cdif 2055   u. cun 2056   (_ wss 2058  (/)c0 2291  ifcif 2373  {csn 2421  <.cop 2423   class class class wbr 2634   X. cxp 3184  ran crn 3187   |` cres 3188   o. ccom 3190   Fn wfn 3193  -->wf 3194  ` cfv 3198  (class class class)co 3979  {copab2 3980  1stc1st 4093  2ndc2nd 4094  RRcr 5253  1c1 5255   + caddc 5257   x. cmul 5259   / cdiv 5314   <_ cle 5315  NNcn 5316   < clt 5506  2c2 5975  3c3 5976   seq1 cseq1 6508

This theorem is referenced by:  ruclem34 7576  ruclem35 7577

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-en 4386  df-dom 4387  df-sdom 4388  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-ltr 5190  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-0 5261  df-1 5262  df-i 5263  df-r 5264  df-plus 5265  df-mul 5266  df-lt 5267  df-sub 5376  df-neg 5378  df-pnf 5507  df-mnf 5508  df-xr 5509  df-ltxr 5510  df-le 5511  df-div 5723  df-n 5939  df-2 5984  df-3 5985  df-n0 6132  df-z 6168  df-seq1 6509

Copyright terms: Public domain