Theorem sbcrexg 2005

Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier.

Assertion

Ref	Expression
sbcrexg	|- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Distinct variable groups:   y,A   x,B   x,y

Proof of Theorem sbcrexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1824	. 2 |- (A e. C -> A e. V)
2		ax-17 975	. . . 4 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3	2	ax-gen 967	. . 3 |- A.z(z e. A -> A.y z e. A)
4		ax-17 975	. . . . 5 |- (A e. V -> A.y A e. V)
5	3	hbth 1005	. . . . 5 |- (A.z(z e. A -> A.y z e. A) -> A.yA.z(z e. A -> A.y z e. A))
6	4, 5	hban 1013	. . . 4 |- ((A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> A.y(A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)))
7		sbcrext 2001	. . . 4 |- (A.y(A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))
8	6, 7	syl 10	. . 3 |- ((A e. V /\ A.z(z e. A -> A.y z e. A)) -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))
9	3, 8	mpan2 700	. 2 |- (A e. V -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))
10	1, 9	syl 10	1 |- (A e. C -> ([A / x]E.y e. B ph <-> E.y e. B [A / x]ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 958   e. wcel 962  [wsbc 1174  E.wrex 1653  Vcvv 1818

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 985  df-sb 1176  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ral 1656  df-rex 1657  df-v 1819  df-sbc 1949

Copyright terms: Public domain