Theorem sdomtr 4472

Description: Strict dominance is transitive. Theorem 21(iii) of [Suppes] p. 97.

Assertion

Ref	Expression
sdomtr	|- ((A ~< B /\ B ~< C) -> A ~< C)

Proof of Theorem sdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 4471	. . . 4 |- (B ~< C -> (B e. V /\ C e. V))
2	1	pm3.27d 325	. . 3 |- (B ~< C -> C e. V)
3		sdomdomtr 4467	. . . 4 |- (C e. V -> ((A ~< B /\ B ~<_ C) -> A ~< C))
4		sdomdom 4385	. . . 4 |- (B ~< C -> B ~<_ C)
5	3, 4	sylan2i 465	. . 3 |- (C e. V -> ((A ~< B /\ B ~< C) -> A ~< C))
6	2, 5	syl 10	. 2 |- (B ~< C -> ((A ~< B /\ B ~< C) -> A ~< C))
7	6	anabsi7 497	1 |- ((A ~< B /\ B ~< C) -> A ~< C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   ~<_ cdom 4365   ~< csdm 4366

This theorem is referenced by:  sdomn2lp 4473  domsdomtr 4474  2pwuninel 4485  alephordi 4866

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain