Theorem ser1ser0 7048

Description: A 1-based infinite series in terms of a 0-based infinite series.

Hypotheses

Ref	Expression
ser1ser0.1	|- F e. V
ser1ser0.2	|- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)

Assertion

Ref	Expression
ser1ser0	|- (N e. NN -> (( + seq1 F)` N) = ((( + seq0 F)` N) - (F` 0)))

Distinct variable groups:   k,F   k,N

Proof of Theorem ser1ser0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsum0split 7021	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ N e. (1...N) /\ A.k e. (0...N)(F` k) e. CC) -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (sum_k e. (0...(N - N))(F` k) + sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k)))
2		nnzt 6153	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. ZZ)
3		elnnuz 6440	. . . . . 6 |- (N e. NN <-> N e. (ZZ>` 1))
4		eluzfz2t 6489	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` 1) -> N e. (1...N))
5	3, 4	sylbi 199	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. (1...N))
6		elfznn0t 6496	. . . . . . . 8 |- (k e. (0...N) -> k e. NN0)
7		ser1ser0.2	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (F` k) e. CC)
8	6, 7	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. (0...N) -> (F` k) e. CC)
9	8	rgen 1698	. . . . . 6 |- A.k e. (0...N)(F` k) e. CC
10	9	a1i 8	. . . . 5 |- (N e. NN -> A.k e. (0...N)(F` k) e. CC)
11	1, 2, 5, 10	syl3anc 858	. . . 4 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (sum_k e. (0...(N - N))(F` k) + sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k)))
12		nnnn0t 6106	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. NN0)
13		ser1ser0.1	. . . . . 6 |- F e. V
14		ax-17 971	. . . . . 6 |- (x e. F -> A.k x e. F)
15	13, 14	fsumser0f 7001	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (( + seq0 F)` N))
16	12, 15	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...N)(F` k) = (( + seq0 F)` N))
17		nncnt 5930	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> N e. CC)
18		subidt 5395	. . . . . . . . . 10 |- (N e. CC -> (N - N) = 0)
19	17, 18	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (N - N) = 0)
20	19	opreq2d 3976	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (0...(N - N)) = (0...0))
21	20	sumeq1d 6990	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...(N - N))(F` k) = sum_k e. (0...0)(F` k))
22		0nn0 6113	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
23	13, 14	fsumser0f 7001	. . . . . . . 8 |- (0 e. NN0 -> sum_k e. (0...0)(F` k) = (( + seq0 F)` 0))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- sum_k e. (0...0)(F` k) = (( + seq0 F)` 0)
25	21, 24	syl6eq 1523	. . . . . 6 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...(N - N))(F` k) = (( + seq0 F)` 0))
26		addex 5317	. . . . . . 7 |- + e. V
27	26, 13	seq00 6550	. . . . . 6 |- (( + seq0 F)` 0) = (F` 0)
28	25, 27	syl6eq 1523	. . . . 5 |- (N e. NN -> sum_k e. (0...(N - N))(F` k) = (F` 0))
29	19	opreq1d 3975	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> ((N - N) + 1) = (0 + 1))
30		ax1cn 5269	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
31	30	addid2 5331	. . . . . . . . 9 |- (0 + 1) = 1
32	29, 31	syl6eq 1523	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> ((N - N) + 1) = 1)
33	32	opreq1d 3975	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (((N - N) + 1)...N) = (1...N))
34	33	sumeq1d 6990	. . . . . 6 |- (N e. NN -> sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k) = sum_k e. (1...N)(F` k))
35	13, 14	fsumser1f 7002	. . . . . 6 |- (N e. NN -> sum_k e. (1...N)(F` k) = (( + seq1 F)` N))
36	34, 35	eqtrd 1507	. . . . 5 |- (N e. NN -> sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k) = (( + seq1 F)` N))
37	28, 36	opreq12d 3978	. . . 4 |- (N e. NN -> (sum_k e. (0...(N - N))(F` k) + sum_k e. (((N - N) + 1)...N)(F` k)) = ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)))
38	11, 16, 37	3eqtr3rd 1516	. . 3 |- (N e. NN -> ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)) = (( + seq0 F)` N))
39		subaddt 5375	. . . 4 |- (((( + seq0 F)` N) e. CC /\ (F` 0) e. CC /\ (( + seq1 F)` N) e. CC) -> (((( + seq0 F)` N) - (F` 0)) = (( + seq1 F)` N) <-> ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)) = (( + seq0 F)` N)))
40	13	ser0clt 7046	. . . . . 6 |- ((N e. NN0 /\ A.k e. (0...N)(F` k) e. CC) -> (( + seq0 F)` N) e. CC)
41	9, 40	mpan2 696	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (( + seq0 F)` N) e. CC)
42	12, 41	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN -> (( + seq0 F)` N) e. CC)
43		fveq2 3724	. . . . . . . 8 |- (k = 0 -> (F` k) = (F` 0))
44	43	eleq1d 1540	. . . . . . 7 |- (k = 0 -> ((F` k) e. CC <-> (F` 0) e. CC))
45	44, 7	vtoclga 1852	. . . . . 6 |- (0 e. NN0 -> (F` 0) e. CC)
46	22, 45	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F` 0) e. CC
47	46	a1i 8	. . . 4 |- (N e. NN -> (F` 0) e. CC)
48		elfznnt 6494	. . . . . . 7 |- (k e. (1...N) -> k e. NN)
49		nnnn0t 6106	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> k e. NN0)
50	48, 49, 7	3syl 20	. . . . . 6 |- (k e. (1...N) -> (F` k) e. CC)
51	50	rgen 1698	. . . . 5 |- A.k e. (1...N)(F` k) e. CC
52	13	ser1clt 7047	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ A.k e. (1...N)(F` k) e. CC) -> (( + seq1 F)` N) e. CC)
53	51, 52	mpan2 696	. . . 4 |- (N e. NN -> (( + seq1 F)` N) e. CC)
54	39, 42, 47, 53	syl3anc 858	. . 3 |- (N e. NN -> (((( + seq0 F)` N) - (F` 0)) = (( + seq1 F)` N) <-> ((F` 0) + (( + seq1 F)` N)) = (( + seq0 F)` N)))
55	38, 54	mpbird 196	. 2 |- (N e. NN -> ((( + seq0 F)` N) - (F` 0)) = (( + seq1 F)` N))
56	55	eqcomd 1480	1 |- (N e. NN -> (( + seq1 F)` N) = ((( + seq0 F)` N) - (F` 0)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   - cmin 5292  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ZZcz 5298   seq1 cseq1 6307  ZZ>cuz 6417  ...cfz 6467   seq0 cseq0 6532  sum_csu 6979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain