Theorem shsumvalt 9232

Description: Value of subspace sum of two Hilbert space subspaces. Definition of subspace sum in [Kalmbach] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
shsumvalt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem shsumvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8824	. . 3 |- H~ e. V
2	1	rabex 2723	. 2 |- {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)} e. V
3		rexeq1 1786	. . 3 |- (w = A -> (E.y e. w E.z e. v x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)))
4	3	rabbisdv 1805	. 2 |- (w = A -> {x e. H~ | E.y e. w E.z e. v x = (y +h z)} = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)})
5		rexeq1 1786	. . . 4 |- (v = B -> (E.z e. v x = (y +h z) <-> E.z e. B x = (y +h z)))
6	5	rexbidv 1663	. . 3 |- (v = B -> (E.y e. A E.z e. v x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)))
7	6	rabbisdv 1805	. 2 |- (v = B -> {x e. H~ | E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)} = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})
8		df-shsum 9228	. 2 |- +H = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. SH /\ v e. SH) /\ u = {x e. H~ | E.y e. w E.z e. v x = (y +h z)})}
9	2, 4, 7, 8	oprabval2 4026	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1645  {crab 1647  (class class class)co 3961  H~chil 8743   +h cva 8744  SHcsh 8752   +H cph 8755

This theorem is referenced by:  shselt 9233  shscl 9236

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2701  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-hilex 8824

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2502  df-br 2618  df-opab 2665  df-id 2833  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fv 3196  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-shsum 9228

Copyright terms: Public domain