Theorem sin01bndlem1 7467

Description: Lemma for sin01bnd 7472 and cos01bnd 7473.

Assertion

Ref	Expression
sin01bndlem1	|- (5 / ((!` 4) x. 4)) < (1 / 6)

Proof of Theorem sin01bndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3pos 5991	. . . . . 6 |- 0 < 3
2		0re 5440	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
3		3re 5981	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
4		5re 5983	. . . . . . 7 |- 5 e. RR
5	2, 3, 4	ltadd1 5591	. . . . . 6 |- (0 < 3 <-> (0 + 5) < (3 + 5))
6	1, 5	mpbi 189	. . . . 5 |- (0 + 5) < (3 + 5)
7	4	recn 5314	. . . . . 6 |- 5 e. CC
8	7	addid2 5331	. . . . 5 |- (0 + 5) = 5
9		cu2 6640	. . . . . 6 |- (2^3) = 8
10		5p3e8 6013	. . . . . 6 |- (5 + 3) = 8
11		3nn 6000	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN
12	11	nncn 5932	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
13	7, 12	addcom 5322	. . . . . 6 |- (5 + 3) = (3 + 5)
14	9, 10, 13	3eqtr2r 1502	. . . . 5 |- (3 + 5) = (2^3)
15	6, 8, 14	3brtr3 2642	. . . 4 |- 5 < (2^3)
16		2nn 5999	. . . . . 6 |- 2 e. NN
17		nnge1t 5943	. . . . . 6 |- (2 e. NN -> 1 <_ 2)
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- 1 <_ 2
19		lep1t 5812	. . . . . . 7 |- (3 e. RR -> 3 <_ (3 + 1))
20	3, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 3 <_ (3 + 1)
21		df-4 5972	. . . . . 6 |- 4 = (3 + 1)
22	20, 21	breqtrr 2640	. . . . 5 |- 3 <_ 4
23		2re 5979	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
24	11	nnnn0 6107	. . . . . . 7 |- 3 e. NN0
25		4nn 6002	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
26	25	nnnn0 6107	. . . . . . 7 |- 4 e. NN0
27	23, 24, 26	3pm3.2i 818	. . . . . 6 |- (2 e. RR /\ 3 e. NN0 /\ 4 e. NN0)
28		expwordit 6603	. . . . . 6 |- (((2 e. RR /\ 3 e. NN0 /\ 4 e. NN0) /\ (1 <_ 2 /\ 3 <_ 4)) -> (2^3) <_ (2^4))
29	27, 28	mpan 695	. . . . 5 |- ((1 <_ 2 /\ 3 <_ 4) -> (2^3) <_ (2^4))
30	18, 22, 29	mp2an 697	. . . 4 |- (2^3) <_ (2^4)
31		8re 5986	. . . . . 6 |- 8 e. RR
32	9, 31	eqeltr 1544	. . . . 5 |- (2^3) e. RR
33		nnexpclt 6576	. . . . . . 7 |- ((2 e. NN /\ 4 e. NN0) -> (2^4) e. NN)
34	16, 26, 33	mp2an 697	. . . . . 6 |- (2^4) e. NN
35	34	nnre 5931	. . . . 5 |- (2^4) e. RR
36	4, 32, 35	ltletr 5587	. . . 4 |- ((5 < (2^3) /\ (2^3) <_ (2^4)) -> 5 < (2^4))
37	15, 30, 36	mp2an 697	. . 3 |- 5 < (2^4)
38		6re 5984	. . . . 5 |- 6 e. RR
39	38, 35	remulcl 5335	. . . 4 |- (6 x. (2^4)) e. RR
40		6pos 5994	. . . . 5 |- 0 < 6
41	34	nngt0 5950	. . . . 5 |- 0 < (2^4)
42	38, 35, 40, 41	mulgt0i 5608	. . . 4 |- 0 < (6 x. (2^4))
43	4, 35, 39, 42	ltdiv1i 5823	. . 3 |- (5 < (2^4) <-> (5 / (6 x. (2^4))) < ((2^4) / (6 x. (2^4))))
44	37, 43	mpbi 189	. 2 |- (5 / (6 x. (2^4))) < ((2^4) / (6 x. (2^4)))
45	21	fveq2i 3727	. . . . . . 7 |- (!` 4) = (!` (3 + 1))
46		facp1t 6936	. . . . . . . 8 |- (3 e. NN0 -> (!` (3 + 1)) = ((!` 3) x. (3 + 1)))
47	24, 46	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (!` (3 + 1)) = ((!` 3) x. (3 + 1))
48		sq2 6638	. . . . . . . . 9 |- (2^2) = 4
49	48, 21	eqtr2 1496	. . . . . . . 8 |- (3 + 1) = (2^2)
50	49	opreq2i 3972	. . . . . . 7 |- ((!` 3) x. (3 + 1)) = ((!` 3) x. (2^2))
51	45, 47, 50	3eqtr 1499	. . . . . 6 |- (!` 4) = ((!` 3) x. (2^2))
52	51	opreq1i 3971	. . . . 5 |- ((!` 4) x. (2^2)) = (((!` 3) x. (2^2)) x. (2^2))
53	48	opreq2i 3972	. . . . 5 |- ((!` 4) x. (2^2)) = ((!` 4) x. 4)
54		fac3 6938	. . . . . . 7 |- (!` 3) = 6
55	38	recn 5314	. . . . . . 7 |- 6 e. CC
56	54, 55	eqeltr 1544	. . . . . 6 |- (!` 3) e. CC
57		4re 5982	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
58	57	recn 5314	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
59	48, 58	eqeltr 1544	. . . . . 6 |- (2^2) e. CC
60	56, 59, 59	mulass 5325	. . . . 5 |- (((!` 3) x. (2^2)) x. (2^2)) = ((!` 3) x. ((2^2) x. (2^2)))
61	52, 53, 60	3eqtr3 1503	. . . 4 |- ((!` 4) x. 4) = ((!` 3) x. ((2^2) x. (2^2)))
62		2p2e4 6001	. . . . . . 7 |- (2 + 2) = 4
63	62	opreq2i 3972	. . . . . 6 |- (2^(2 + 2)) = (2^4)
64		2cn 5980	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
65		2nn0 6115	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
66		expaddt 6596	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ 2 e. NN0 /\ 2 e. NN0) -> (2^(2 + 2)) = ((2^2) x. (2^2)))
67	64, 65, 65, 66	mp3an 916	. . . . . 6 |- (2^(2 + 2)) = ((2^2) x. (2^2))
68	63, 67	eqtr3 1497	. . . . 5 |- (2^4) = ((2^2) x. (2^2))
69	68	opreq2i 3972	. . . 4 |- ((!` 3) x. (2^4)) = ((!` 3) x. ((2^2) x. (2^2)))
70	54	opreq1i 3971	. . . 4 |- ((!` 3) x. (2^4)) = (6 x. (2^4))
71	61, 69, 70	3eqtr2 1501	. . 3 |- ((!` 4) x. 4) = (6 x. (2^4))
72	71	opreq2i 3972	. 2 |- (5 / ((!` 4) x. 4)) = (5 / (6 x. (2^4)))
73	34	nncn 5932	. . . . . 6 |- (2^4) e. CC
74	34	nnne0 5951	. . . . . 6 |- (2^4) =/= 0
75	73, 74	divid 5770	. . . . 5 |- ((2^4) / (2^4)) = 1
76	75	opreq2i 3972	. . . 4 |- ((1 / 6) x. ((2^4) / (2^4))) = ((1 / 6) x. 1)
77		ax1cn 5269	. . . . 5 |- 1 e. CC
78	38, 40	gt0ne0i 5617	. . . . 5 |- 6 =/= 0
79	77, 55, 73, 73, 78, 74	divmuldiv 5786	. . . 4 |- ((1 / 6) x. ((2^4) / (2^4))) = ((1 x. (2^4)) / (6 x. (2^4)))
80	55, 78	reccl 5713	. . . . 5 |- (1 / 6) e. CC
81	80	mulid1 5332	. . . 4 |- ((1 / 6) x. 1) = (1 / 6)
82	76, 79, 81	3eqtr3 1503	. . 3 |- ((1 x. (2^4)) / (6 x. (2^4))) = (1 / 6)
83	73	mulid2 5333	. . . 4 |- (1 x. (2^4)) = (2^4)
84	83	opreq1i 3971	. . 3 |- ((1 x. (2^4)) / (6 x. (2^4))) = ((2^4) / (6 x. (2^4)))
85	82, 84	eqtr3 1497	. 2 |- (1 / 6) = ((2^4) / (6 x. (2^4)))
86	44, 72, 85	3brtr4 2643	1 |- (5 / ((!` 4) x. 4)) < (1 / 6)

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297   < clt 5486  2c2 5961  3c3 5962  4c4 5963  5c5 5964  6c6 5965  8c8 5967  ^cexp 6568  !cfa 6931

This theorem is referenced by:  sin01bndlem2 7468  cos01bndlem2 7470

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-7 5975  df-8 5976  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-fac 6932

Copyright terms: Public domain