Theorem specvalt 9824

Description: The value of the spectrum of an operator.

Assertion

Ref	Expression
specvalt	|- (T:H~-->H~ -> (Lambda` T) = {x e. CC | -. (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~})

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem specvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnex 5267	. . 3 |- CC e. V
2	1	rabex 2725	. 2 |- {x e. CC | -. (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~} e. V
3		ax-hilex 8869	. 2 |- H~ e. V
4		opreq1 3968	. . . . 5 |- (t = T -> (t -op (x .op (I |` H~))) = (T -op (x .op (I |` H~))))
5		f1eq1 3660	. . . . 5 |- ((t -op (x .op (I |` H~))) = (T -op (x .op (I |` H~))) -> ((t -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~ <-> (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~))
6	4, 5	syl 10	. . . 4 |- (t = T -> ((t -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~ <-> (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~))
7	6	negbid 611	. . 3 |- (t = T -> (-. (t -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~ <-> -. (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~))
8	7	rabbisdv 1807	. 2 |- (t = T -> {x e. CC | -. (t -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~} = {x e. CC | -. (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~})
9		df-spec 9781	. 2 |- Lambda = {<.t, y>. | (t:H~-->H~ /\ y = {x e. CC | -. (t -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~})}
10	2, 3, 3, 8, 9	fvopabf4 4340	1 |- (T:H~-->H~ -> (Lambda` T) = {x e. CC | -. (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~})

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956  {crab 1648  Icid 2831   |` cres 3172  -->wf 3178  -1-1->wf1 3179  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  H~chil 8788   .op chot 8808   -op chod 8809  Lambdacspc 8830

This theorem is referenced by:  specclt 9825

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-qs 4266  df-map 4324  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086  df-nr 5167  df-c 5240  df-spec 9781

Copyright terms: Public domain