Theorem sqrth 6707

Description: Square root theorem. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29.

(A bit of trivia: This theorem was added to the database before the number 2 was defined and before exponents were defined. Thus you will see (1 + 1) and (x x. x) throughout its lemmas.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrth.1	|- A e. RR

Assertion

Ref	Expression
sqrth	|- (0 <_ A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)

Proof of Theorem sqrth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5459	. . 3 |- 0 e. RR
2		sqrth.1	. . 3 |- A e. RR
3	1, 2	leloe 5594	. 2 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
4		fveq2 3731	. . . . . 6 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> (sqr` A) = (sqr` if(0 < A, A, 1)))
5	4, 4	opreq12d 3985	. . . . 5 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = ((sqr` if(0 < A, A, 1)) x. (sqr` if(0 < A, A, 1))))
6		id 59	. . . . 5 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> A = if(0 < A, A, 1))
7	5, 6	eqeq12d 1492	. . . 4 |- (A = if(0 < A, A, 1) -> (((sqr` A) x. (sqr` A)) = A <-> ((sqr` if(0 < A, A, 1)) x. (sqr` if(0 < A, A, 1))) = if(0 < A, A, 1)))
8		1re 5454	. . . . . 6 |- 1 e. RR
9	2, 8	keepel 2404	. . . . 5 |- if(0 < A, A, 1) e. RR
10		elimgt0 5818	. . . . 5 |- 0 < if(0 < A, A, 1)
11	9, 10	sqrlem26 6706	. . . 4 |- ((sqr` if(0 < A, A, 1)) x. (sqr` if(0 < A, A, 1))) = if(0 < A, A, 1)
12	7, 11	dedth 2388	. . 3 |- (0 < A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
13		sqr0 6680	. . . . . 6 |- (sqr` 0) = 0
14	13, 13	opreq12i 3980	. . . . 5 |- ((sqr` 0) x. (sqr` 0)) = (0 x. 0)
15		0cn 5347	. . . . . 6 |- 0 e. CC
16	15	mul01 5450	. . . . 5 |- (0 x. 0) = 0
17	14, 16	eqtr 1498	. . . 4 |- ((sqr` 0) x. (sqr` 0)) = 0
18		fveq2 3731	. . . . . 6 |- (0 = A -> (sqr` 0) = (sqr` A))
19	18, 18	opreq12d 3985	. . . . 5 |- (0 = A -> ((sqr` 0) x. (sqr` 0)) = ((sqr` A) x. (sqr` A)))
20		id 59	. . . . 5 |- (0 = A -> 0 = A)
21	19, 20	eqeq12d 1492	. . . 4 |- (0 = A -> (((sqr` 0) x. (sqr` 0)) = 0 <-> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A))
22	17, 21	mpbii 193	. . 3 |- (0 = A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
23	12, 22	jaoi 341	. 2 |- ((0 < A \/ 0 = A) -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
24	3, 23	sylbi 199	1 |- (0 <_ A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960  ifcif 2366   class class class wbr 2625  ` cfv 3189  (class class class)co 3970  RRcr 5252  0cc0 5253  1c1 5254   x. cmul 5258   <_ cle 5314   < clt 5505  sqrcsqr 6677

This theorem is referenced by:  sqr11 6711  sqrmuli 6712  sqrmsq2 6714  sqrle 6715  sqrlt 6716  sqsqr 6729

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-en 4375  df-dom 4376  df-sdom 4377  df-sup 4590  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-lt 5266  df-sub 5375  df-neg 5377  df-pnf 5506  df-mnf 5507  df-xr 5508  df-ltxr 5509  df-le 5510  df-div 5722  df-sqr 6678

Copyright terms: Public domain