Theorem ssdmres 3388

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass.

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	|- (A (_ dom B <-> dom ( B |` A) = A)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 2057	. 2 |- (A (_ dom B <-> (A i^i dom B) = A)
2		dmres 3387	. . 3 |- dom ( B |` A) = (A i^i dom B)
3	2	eqeq1i 1485	. 2 |- (dom ( B |` A) = A <-> (A i^i dom B) = A)
4	1, 3	bitr4 176	1 |- (A (_ dom B <-> dom ( B |` A) = A)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 958   i^i cin 2050   (_ wss 2051  dom cdm 3177   |` cres 3179

This theorem is referenced by:  dmresi 3406  fnssresb 3606  fores 3688  sbthlem4 4457  metreslem 7826  resgrprn 8098  hhssabl 9134  hhssnv 9136  hhshsslem1 9139  ghomfo 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-pow 2749  ax-pr 2786

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-br 2626  df-opab 2673  df-xp 3191  df-dm 3195  df-res 3197

Copyright terms: Public domain