Theorem ssdom2g 4416

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
ssdom2g	|- (B e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Proof of Theorem ssdom2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 2727	. . 3 |- ((A (_ B /\ B e. C) -> A e. V)
2	1	expcom 374	. 2 |- (B e. C -> (A (_ B -> A e. V))
3		ssdomg 4415	. 2 |- (A e. V -> (A (_ B -> A ~<_ B))
4	2, 3	syli 54	1 |- (B e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 960  Vcvv 1814   (_ wss 2051   class class class wbr 2625   ~<_ cdom 4372

This theorem is referenced by:  undom 4445  pwuninel 4493  2pwuninel 4494  limenpsi 4512  php 4520  php2 4521  php3 4522  php3OLD 4523  onomeneq 4526  0sdom1dom 4532  brdom3 4818  brdom5 4819  brdom4 4820  imadomg 4823  cardsdomel 4870  xpnnen 7507  ruc 7557  infdif 7576  infdif2 7577  alephadd 7591  alephmul 7592  alephexp1 7593  alephsuc3 7594  alephexp2 7595  cctop 7656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-id 2842  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-en 4375  df-dom 4376

Copyright terms: Public domain