Theorem sshjvalt 9275

Description: Value of join for subsets of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
sshjvalt	|- ((A (_ H~ /\ B (_ H~) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))

Proof of Theorem sshjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3730	. . 3 |- (_|_` (_|_` (A u. B))) e. V
2		uneq1 2175	. . . . 5 |- (x = A -> (x u. y) = (A u. y))
3	2	fveq2d 3726	. . . 4 |- (x = A -> (_|_` (x u. y)) = (_|_` (A u. y)))
4	3	fveq2d 3726	. . 3 |- (x = A -> (_|_` (_|_` (x u. y))) = (_|_` (_|_` (A u. y))))
5		uneq2 2176	. . . . 5 |- (y = B -> (A u. y) = (A u. B))
6	5	fveq2d 3726	. . . 4 |- (y = B -> (_|_` (A u. y)) = (_|_` (A u. B)))
7	6	fveq2d 3726	. . 3 |- (y = B -> (_|_` (_|_` (A u. y))) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
8		df-chj 9230	. . . 4 |- vH = {<.<.x, y>., z>. | ((x (_ H~ /\ y (_ H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
9		ax-hilex 8824	. . . . . . . 8 |- H~ e. V
10	9	elpw2 2726	. . . . . . 7 |- (x e. P~H~ <-> x (_ H~)
11	9	elpw2 2726	. . . . . . 7 |- (y e. P~H~ <-> y (_ H~)
12	10, 11	anbi12i 482	. . . . . 6 |- ((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) <-> (x (_ H~ /\ y (_ H~))
13	12	anbi1i 481	. . . . 5 |- (((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y)))) <-> ((x (_ H~ /\ y (_ H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y)))))
14	13	oprabbii 3995	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x (_ H~ /\ y (_ H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
15	8, 14	eqtr4 1497	. . 3 |- vH = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
16	1, 4, 7, 15	oprabval2 4026	. 2 |- ((A e. P~H~ /\ B e. P~H~) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
17	9	elpw2 2726	. 2 |- (A e. P~H~ <-> A (_ H~)
18	9	elpw2 2726	. 2 |- (B e. P~H~ <-> B (_ H~)
19	16, 17, 18	syl2anbr 456	1 |- ((A (_ H~ /\ B (_ H~) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   u. cun 2043   (_ wss 2045  P~cpw 2399  ` cfv 3180  (class class class)co 3961  {copab2 3962  H~chil 8743  _|_cort 8754   vH chj 8757

This theorem is referenced by:  shjvalt 9276  sshjclt 9282  sshhococ 9424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2701  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864  ax-hilex 8824

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-rex 1649  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2502  df-br 2618  df-opab 2665  df-id 2833  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fv 3196  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-chj 9230

Copyright terms: Public domain