Theorem sspsval 8390

Description: Scalar multiplication on a subspace in terms of scalar multiplication on the parent space.

Hypotheses

Ref	Expression
ssps.y	|- Y = (Base` W)
ssps.s	|- S = (.s` U)
ssps.r	|- R = (.s` W)
ssps.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspsval	|- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. CC /\ B e. Y)) -> (ARB) = (ASB))

Proof of Theorem sspsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssps.y	. . . 4 |- Y = (Base` W)
2		ssps.s	. . . 4 |- S = (.s` U)
3		ssps.r	. . . 4 |- R = (.s` W)
4		ssps.h	. . . 4 |- H = (SubSp` U)
5	1, 2, 3, 4	ssps 8389	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> R = (S |` (CC X. Y)))
6	5	opreqd 3977	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (ARB) = (A(S |` (CC X. Y))B))
7		oprvalres 4033	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. Y) -> (A(S |` (CC X. Y))B) = (ASB))
8	6, 7	sylan9eq 1527	1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. CC /\ B e. Y)) -> (ARB) = (ASB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   X. cxp 3168   |` cres 3172  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  .scns 8206  SubSpcss 8380

This theorem is referenced by:  sspmval 8392  sspival 8397  minveclem16 8560  minveclem37 8581  hhshsslem2 9138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-ssp 8381

Copyright terms: Public domain