Theorem ssxp 3256

Description: Subset theorem for cross product. Generalization of Theorem 101 of [Suppes] p. 52.

Assertion

Ref	Expression
ssxp	|- ((A (_ B /\ C (_ D) -> (A X. C) (_ (B X. D))

Proof of Theorem ssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 3255	. . 3 |- Rel (A X. C)
2	1	a1i 8	. 2 |- ((A (_ B /\ C (_ D) -> Rel (A X. C))
3		prth 556	. . . 4 |- (((x e. A -> x e. B) /\ (y e. C -> y e. D)) -> ((x e. A /\ y e. C) -> (x e. B /\ y e. D)))
4		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
5	4	opelxp 3214	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (A X. C) <-> (x e. A /\ y e. C))
6	4	opelxp 3214	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (B X. D) <-> (x e. B /\ y e. D))
7	3, 5, 6	3imtr4g 553	. . 3 |- (((x e. A -> x e. B) /\ (y e. C -> y e. D)) -> (<.x, y>. e. (A X. C) -> <.x, y>. e. (B X. D)))
8		ssel 2063	. . 3 |- (A (_ B -> (x e. A -> x e. B))
9		ssel 2063	. . 3 |- (C (_ D -> (y e. C -> y e. D))
10	7, 8, 9	syl2an 454	. 2 |- ((A (_ B /\ C (_ D) -> (<.x, y>. e. (A X. C) -> <.x, y>. e. (B X. D)))
11	2, 10	relssdv 3249	1 |- ((A (_ B /\ C (_ D) -> (A X. C) (_ (B X. D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958   (_ wss 2047  <.cop 2411   X. cxp 3168  Rel wrel 3175

This theorem is referenced by:  ssres2 3386  ssrnres 3481  coexg 3524  fssxp 3637  funssxp 3638  oprabss 4006  xpdom3 4443  dmaddpi 5010  dmmulpi 5011  axresscn 5260  mulnzcnopr 5690  climuz0 7093  xpnnen 7484  infxpidmlem7 7543  metreslem 7807  cncfmet 7890  remetba 7894  lmbrf 7915  iscauf 7924  iscau5 7926  iscaunns 7929  lmsslem 7937  caussi 7939  lmclimnn 7949  resgrprn 8080  issubgi 8107  ghgrpilem4 8121  sspg 8372  ssps 8374  sspmlem 8376  h2hcau 8834  h2hlm 8835  hhssabl 9117  hhssnv 9119  hhshsslem1 9122  ghomfo 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185

Copyright terms: Public domain