Theorem unidomg 4826

Description: An upper bound for the cardinality of a union. Theorem 10.47 of [TakeutiZaring] p. 98.

Assertion

Ref	Expression
unidomg	|- ((A e. C /\ B e. D /\ A.x e. A x ~<_ B) -> U.A ~<_ (A X. B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem unidomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1 1793	. . . 4 |- (y = A -> (A.x e. y x ~<_ z <-> A.x e. A x ~<_ z))
2		unieq 2524	. . . . 5 |- (y = A -> U.y = U.A)
3		xpeq1 3216	. . . . 5 |- (y = A -> (y X. z) = (A X. z))
4	2, 3	breq12d 2646	. . . 4 |- (y = A -> (U.y ~<_ (y X. z) <-> U.A ~<_ (A X. z)))
5	1, 4	imbi12d 629	. . 3 |- (y = A -> ((A.x e. y x ~<_ z -> U.y ~<_ (y X. z)) <-> (A.x e. A x ~<_ z -> U.A ~<_ (A X. z))))
6		breq2 2638	. . . . 5 |- (z = B -> (x ~<_ z <-> x ~<_ B))
7	6	ralbidv 1670	. . . 4 |- (z = B -> (A.x e. A x ~<_ z <-> A.x e. A x ~<_ B))
8		xpeq2 3217	. . . . 5 |- (z = B -> (A X. z) = (A X. B))
9	8	breq2d 2645	. . . 4 |- (z = B -> (U.A ~<_ (A X. z) <-> U.A ~<_ (A X. B)))
10	7, 9	imbi12d 629	. . 3 |- (z = B -> ((A.x e. A x ~<_ z -> U.A ~<_ (A X. z)) <-> (A.x e. A x ~<_ B -> U.A ~<_ (A X. B))))
11		visset 1820	. . . 4 |- y e. V
12		visset 1820	. . . 4 |- z e. V
13	11, 12	unidom 4825	. . 3 |- (A.x e. y x ~<_ z -> U.y ~<_ (y X. z))
14	5, 10, 13	vtocl2g 1857	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A.x e. A x ~<_ B -> U.A ~<_ (A X. B)))
15	14	3impia 834	1 |- ((A e. C /\ B e. D /\ A.x e. A x ~<_ B) -> U.A ~<_ (A X. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 779   = wceq 960   e. wcel 962  A.wral 1652  U.cuni 2517   class class class wbr 2634   X. cxp 3184   ~<_ cdom 4383

This theorem is referenced by:  uniimadom 4827

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-reg 4608  ax-inf2 4642  ax-ac 4761

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-iin 2583  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-en 4386  df-dom 4387  df-r1 4660  df-rank 4661

Copyright terms: Public domain