Theorem uzssz 6430

Description: A set of upper integers is a subset of all integers.

Assertion

Ref	Expression
uzssz	|- (ZZ>` M) (_ ZZ

Proof of Theorem uzssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzvalt 6419	. . 3 |- (M e. ZZ -> (ZZ>` M) = {k e. ZZ | M <_ k})
2		ssrab2 2131	. . . 4 |- {k e. ZZ | M <_ k} (_ ZZ
3	2	a1i 8	. . 3 |- (M e. ZZ -> {k e. ZZ | M <_ k} (_ ZZ)
4	1, 3	eqsstrd 2095	. 2 |- (M e. ZZ -> (ZZ>` M) (_ ZZ)
5		df-uz 6418	. . . . . . . 8 |- ZZ> = {<.j, y>. | (j e. ZZ /\ y = {k e. ZZ | j <_ k})}
6	5	dmeqi 3312	. . . . . . 7 |- dom ZZ> = dom {<.j, y>. | (j e. ZZ /\ y = {k e. ZZ | j <_ k})}
7		dmopabss 3321	. . . . . . 7 |- dom {<.j, y>. | (j e. ZZ /\ y = {k e. ZZ | j <_ k})} (_ ZZ
8	6, 7	eqsstr 2091	. . . . . 6 |- dom ZZ> (_ ZZ
9	8	sseli 2065	. . . . 5 |- (M e. dom ZZ> -> M e. ZZ)
10	9	con3i 98	. . . 4 |- (-. M e. ZZ -> -. M e. dom ZZ>)
11		ndmfv 3745	. . . 4 |- (-. M e. dom ZZ> -> (ZZ>` M) = (/))
12	10, 11	syl 10	. . 3 |- (-. M e. ZZ -> (ZZ>` M) = (/))
13		0ss 2301	. . . 4 |- (/) (_ ZZ
14	13	a1i 8	. . 3 |- (-. M e. ZZ -> (/) (_ ZZ)
15	12, 14	eqsstrd 2095	. 2 |- (-. M e. ZZ -> (ZZ>` M) (_ ZZ)
16	4, 15	pm2.61i 126	1 |- (ZZ>` M) (_ ZZ

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  {copab 2666  dom cdm 3170  ` cfv 3182   <_ cle 5295  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417

This theorem is referenced by:  uzwo 6455  uzwoOLD 6456  uzwo2 6457  uzinfm 6462  infmssuzle 6465  infmssuzcl 6466  seqzfn 6539  cau5 6919  cvganuz 6925  clmi1 7086  clm4at 7090  climconst 7094  climunii 7098  climshft 7104  climres 7105  climshft2 7106  climuz0 7108  climaddlem3 7116  climmullem8 7127  serzf0 7169  ser1f0 7170  lmbr2 7929  lmbrf 7930  iscau3 7938  iscauf 7939

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-enr 5166  df-nr 5167  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-neg 5358  df-z 6136  df-uz 6418

Copyright terms: Public domain