Theorem 0nn0 6122

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. 2 ⊢ 0 = 0
2		elnn0 6110	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ↔ (0 ∈ ℕ ⋁ 0 = 0))
3	2	biimpr 152	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ ⋁ 0 = 0) → 0 ∈ ℕ0)
4	3	olcs 275	. 2 ⊢ (0 = 0 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 4	ax-mp 7	1 ⊢ 0 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ⋁ wo 222   = wceq 958   ∈ wcel 960  0cc0 5253  ℕcn 5315  ℕ₀cn0 5316

This theorem is referenced by:  nn0addclt 6129  nn0mulcl 6131  nn0mulclt 6132  zltp1let 6190  nn0ind-raph 6223  seq00 6558  seq01 6560  ser0cl1 6572  ser00 6574  exp0t 6579  nn0opth2t 6676  nthruz 6754  facnnt 6940  fac0 6941  faclbnd4lem1 6955  faclbnd4lem3 6957  bcvalt 6965  bcn0t 6970  bcnnt 6971  bcpasc 6976  bccl2t 6978  bcclt 6979  ser1ser0 7055  binom 7079  bcxmas 7083  isumnn0nna 7215  geolim1i 7245  dfef2 7314  ef0lem 7317  efseq0ex 7318  eft0val 7405  ef4p 7406  efge1 7408  efm1lim 7418  dscmet 7922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-n0 6109

Copyright terms: Public domain