Theorem 0nn0 6281

Description: 0 is a nonnegative integer. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 0nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1518	. 2 ⊢ 0 = 0
2		elnn0 6269	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ↔ (0 ∈ ℕ ⋁ 0 = 0))
3	2	biimpri 150	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ ⋁ 0 = 0) → 0 ∈ ℕ0)
4	3	olcs 273	. 2 ⊢ (0 = 0 → 0 ∈ ℕ0)
5	1, 4	ax-mp 7	1 ⊢ 0 ∈ ℕ0

Syntax hints:   ⋁ wo 220   = wceq 992   ∈ wcel 994  0cc0 5388  ℕcn 5450  ℕ₀cn0 5451

This theorem is referenced by:  nn0addcl 6288  nn0mulcli 6290  nn0mulcl 6291  zltp1le 6349  nn0ind-raph 6385  seq00 6745  seq01 6747  ser0cl1i 6759  ser00i 6761  exp0 6766  nn0opth2 6869  nthruz 6947  facnn 7136  fac0 7137  faclbnd4lem1 7151  faclbnd4lem3 7153  bcval 7161  bcn0 7166  bcnn 7167  bcpasci 7172  bccl2 7174  bccl 7175  ser1ser0i 7251  binomi 7275  bcxmas 7279  isumnn0nnai 7412  geolim1i 7443  dfef2i 7512  ef0lem 7515  efseq0ex 7516  eft0vali 7606  ef4pi 7607  efge1i 7609  efm1limi 7619  dscmet 8129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-n0 6268

Copyright terms: Public domain