Theorem addasssr 5217

Description: Addition of signed reals is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasssr.1	⊢ B ∈ V
addasssr.2	⊢ C ∈ V

Assertion

Ref	Expression
addasssr	⊢ ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Proof of Theorem addasssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5187	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 5204	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ⋀ y ∈ P) ⋀ (z ∈ P ⋀ w ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨(x +P z), (y +P w)⟩] ~R )
3		addsrpr 5204	. . 3 ⊢ (((z ∈ P ⋀ w ∈ P) ⋀ (v ∈ P ⋀ u ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R +R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R )
4		addsrpr 5204	. . 3 ⊢ ((((x +P z) ∈ P ⋀ (y +P w) ∈ P) ⋀ (v ∈ P ⋀ u ∈ P)) → ([⟨(x +P z), (y +P w)⟩] ~R +R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨((x +P z) +P v), ((y +P w) +P u)⟩] ~R )
5		addsrpr 5204	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ⋀ y ∈ P) ⋀ ((z +P v) ∈ P ⋀ (w +P u) ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R +R [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R ) = [⟨(x +P (z +P v)), (y +P (w +P u))⟩] ~R )
6		addclpr 5140	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ⋀ z ∈ P) → (x +P z) ∈ P)
7		addclpr 5140	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ⋀ w ∈ P) → (y +P w) ∈ P)
8	6, 7	anim12i 333	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ⋀ z ∈ P) ⋀ (y ∈ P ⋀ w ∈ P)) → ((x +P z) ∈ P ⋀ (y +P w) ∈ P))
9	8	an4s 511	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ⋀ y ∈ P) ⋀ (z ∈ P ⋀ w ∈ P)) → ((x +P z) ∈ P ⋀ (y +P w) ∈ P))
10		addclpr 5140	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ P ⋀ v ∈ P) → (z +P v) ∈ P)
11		addclpr 5140	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ P ⋀ u ∈ P) → (w +P u) ∈ P)
12	10, 11	anim12i 333	. . . 4 ⊢ (((z ∈ P ⋀ v ∈ P) ⋀ (w ∈ P ⋀ u ∈ P)) → ((z +P v) ∈ P ⋀ (w +P u) ∈ P))
13	12	an4s 511	. . 3 ⊢ (((z ∈ P ⋀ w ∈ P) ⋀ (v ∈ P ⋀ u ∈ P)) → ((z +P v) ∈ P ⋀ (w +P u) ∈ P))
14		visset 1820	. . . 4 ⊢ z ∈ V
15		visset 1820	. . . 4 ⊢ v ∈ V
16	14, 15	addasspr 5144	. . 3 ⊢ ((x +P z) +P v) = (x +P (z +P v))
17		visset 1820	. . . 4 ⊢ w ∈ V
18		visset 1820	. . . 4 ⊢ u ∈ V
19	17, 18	addasspr 5144	. . 3 ⊢ ((y +P w) +P u) = (y +P (w +P u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 4338	. 2 ⊢ ((A ∈ R ⋀ B ∈ R ⋀ C ∈ R) → ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
21		addasssr.1	. . 3 ⊢ B ∈ V
22		dmaddsr 5214	. . 3 ⊢ dom +R = (R × R)
23		addasssr.2	. . 3 ⊢ C ∈ V
24		0nsr 5208	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ R
25	21, 22, 23, 24	ndmoprass 4064	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ R ⋀ B ∈ R ⋀ C ∈ R) → ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
26	20, 25	pm2.61i 126	1 ⊢ ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Syntax hints:   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 779   = wceq 960   ∈ wcel 962  Vcvv 1818  (class class class)co 3979  Pcnp 5005   +_P cpp 5007   ~_R cer 5012  Rcnr 5013   +_R cplr 5017

This theorem is referenced by:  supsrlem2 5246  axaddass 5297  axmulass 5298  axdistr 5299

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-plp 5108  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188

Copyright terms: Public domain