Theorem adj0 9943

Description: Adjoint of the zero operator.

Assertion

Ref	Expression
adj0	⊢ (adjh ‘ 0hop ) = 0hop

Proof of Theorem adj0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ho0f 9701	. 2 ⊢ 0hop : ℋ –→ ℋ
2		ho0val 9700	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℋ → ( 0hop ‘x) = 0h)
3	2	opreq1d 3991	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → (( 0hop ‘x) ·ih y) = (0h ·ih y))
4		hi01 8986	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℋ → (0h ·ih y) = 0)
5	3, 4	sylan9eq 1534	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (( 0hop ‘x) ·ih y) = 0)
6		ho0val 9700	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℋ → ( 0hop ‘y) = 0h)
7	6	opreq2d 3992	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℋ → (x ·ih ( 0hop ‘y)) = (x ·ih 0h))
8		hi02 8987	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → (x ·ih 0h) = 0)
9	7, 8	sylan9eqr 1536	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (x ·ih ( 0hop ‘y)) = 0)
10	5, 9	eqtr4d 1517	. . 3 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → (( 0hop ‘x) ·ih y) = (x ·ih ( 0hop ‘y)))
11	10	rgen2a 1706	. 2 ⊢ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℋ (( 0hop ‘x) ·ih y) = (x ·ih ( 0hop ‘y))
12		adjeq 9883	. 2 ⊢ (( 0hop : ℋ –→ ℋ ⋀ 0hop : ℋ –→ ℋ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℋ (( 0hop ‘x) ·ih y) = (x ·ih ( 0hop ‘y))) → (adjh ‘ 0hop ) = 0hop )
13	1, 1, 11, 12	mp3an 920	1 ⊢ (adjh ‘ 0hop ) = 0hop

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∀wral 1652  –→wf 3194   ‘cfv 3198  (class class class)co 3979  0cc0 5254   ℋ chil 8812  0_hc0v 8815   ·_ih csp 8817   0_hop ch0o 8836  adj_hcado 8848

This theorem is referenced by:  adjeq0 10048

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-reg 4608  ax-inf2 4642  ax-ac 4761  ax-hilex 8893  ax-hfvadd 8894  ax-hvcom 8895  ax-hvass 8896  ax-hv0cl 8897  ax-hvaddid 8898  ax-hfvmul 8899  ax-hvmulid 8900  ax-hvmulass 8901  ax-hvdistr1 8902  ax-hvdistr2 8903  ax-hvmul0 8904  ax-hfi 8970  ax-his1 8973  ax-his2 8974  ax-his3 8975  ax-his4 8976  ax-hcompl 9095

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-iin 2583  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-map 4342  df-en 4386  df-dom 4387  df-sdom 4388  df-sup 4589  df-r1 4660  df-rank 4661  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-ltr 5190  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-0 5261  df-1 5262  df-i 5263  df-r 5264  df-plus 5265  df-mul 5266  df-lt 5267  df-sub 5376  df-neg 5378  df-pnf 5507  df-mnf 5508  df-xr 5509  df-ltxr 5510  df-le 5511  df-div 5723  df-n 5939  df-2 5984  df-3 5985  df-4 5986  df-n0 6132  df-z 6168  df-q 6258  df-fl 6284  df-ioo 6328  df-uz 6386  df-fz 6436  df-seq1 6509  df-shft 6542  df-seqz 6564  df-exp 6600  df-sqr 6702  df-re 6783  df-im 6784  df-cj 6785  df-abs 6786  df-clim 7007  df-sum 7012  df-top 7625  df-bases 7627  df-topgen 7628  df-cld 7689  df-ntr 7690  df-cls 7691  df-cn 7780  df-cnp 7781  df-haus 7808  df-met 7819  df-bl 7821  df-opn 7822  df-lm 7948  df-grp 8063  df-gid 8064  df-ginv 8065  df-gdiv 8066  df-abl 8125  df-vc 8190  df-nv 8236  df-va 8239  df-ba 8240  df-sm 8241  df-0v 8242  df-vs 8243  df-nm 8244  df-ims 8245  df-ip 8375  df-ph 8497  df-hnorm 8861  df-hvsub 8864  df-hlim 8865  df-hcau 8866  df-sh 9100  df-ch 9116  df-oc 9148  df-ch0 9149  df-pj 9261  df-h0op 9698  df-adjh 9799

Copyright terms: Public domain