Theorem adj2 10138

Description: Property of an adjoint Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
adj2	⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℋ ) → ((T ‘A) ·ih B) = (A ·ih ((adjh ‘T) ‘B)))

Proof of Theorem adj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj1 10137	. . . 4 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → (B ·ih (T ‘A)) = (((adjh ‘T) ‘B) ·ih A))
2		ax-his1 9225	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℋ ⋀ (T ‘A) ∈ ℋ ) → (B ·ih (T ‘A)) = (∗ ‘((T ‘A) ·ih B)))
3		3simp2 795	. . . . 5 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → B ∈ ℋ )
4		ffvelrn 3928	. . . . . . 7 ⊢ ((T: ℋ –→ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → (T ‘A) ∈ ℋ )
5		dmadjop 10100	. . . . . . 7 ⊢ (T ∈ dom adjh → T: ℋ –→ ℋ )
6	4, 5	sylan 450	. . . . . 6 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ A ∈ ℋ ) → (T ‘A) ∈ ℋ )
7	6	3adant2 804	. . . . 5 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → (T ‘A) ∈ ℋ )
8	2, 3, 7	sylanc 473	. . . 4 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → (B ·ih (T ‘A)) = (∗ ‘((T ‘A) ·ih B)))
9		ax-his1 9225	. . . . 5 ⊢ ((((adjh ‘T) ‘B) ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → (((adjh ‘T) ‘B) ·ih A) = (∗ ‘(A ·ih ((adjh ‘T) ‘B))))
10		adjcl 10136	. . . . . 6 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ) → ((adjh ‘T) ‘B) ∈ ℋ )
11	10	3adant3 805	. . . . 5 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → ((adjh ‘T) ‘B) ∈ ℋ )
12		3simp3 796	. . . . 5 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → A ∈ ℋ )
13	9, 11, 12	sylanc 473	. . . 4 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → (((adjh ‘T) ‘B) ·ih A) = (∗ ‘(A ·ih ((adjh ‘T) ‘B))))
14	1, 8, 13	3eqtr3d 1558	. . 3 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → (∗ ‘((T ‘A) ·ih B)) = (∗ ‘(A ·ih ((adjh ‘T) ‘B))))
15		cj11 7031	. . . 4 ⊢ ((((T ‘A) ·ih B) ∈ ℂ ⋀ (A ·ih ((adjh ‘T) ‘B)) ∈ ℂ) → ((∗ ‘((T ‘A) ·ih B)) = (∗ ‘(A ·ih ((adjh ‘T) ‘B))) ↔ ((T ‘A) ·ih B) = (A ·ih ((adjh ‘T) ‘B))))
16		hicl 9223	. . . . 5 ⊢ (((T ‘A) ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℋ ) → ((T ‘A) ·ih B) ∈ ℂ)
17	16, 7, 3	sylanc 473	. . . 4 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → ((T ‘A) ·ih B) ∈ ℂ)
18		hicl 9223	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ ((adjh ‘T) ‘B) ∈ ℋ ) → (A ·ih ((adjh ‘T) ‘B)) ∈ ℂ)
19	18, 12, 11	sylanc 473	. . . 4 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → (A ·ih ((adjh ‘T) ‘B)) ∈ ℂ)
20	15, 17, 19	sylanc 473	. . 3 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → ((∗ ‘((T ‘A) ·ih B)) = (∗ ‘(A ·ih ((adjh ‘T) ‘B))) ↔ ((T ‘A) ·ih B) = (A ·ih ((adjh ‘T) ‘B))))
21	14, 20	mpbid 193	. 2 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ B ∈ ℋ ⋀ A ∈ ℋ ) → ((T ‘A) ·ih B) = (A ·ih ((adjh ‘T) ‘B)))
22	21	3com23 845	1 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ A ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℋ ) → ((T ‘A) ·ih B) = (A ·ih ((adjh ‘T) ‘B)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 144   ⋀ w3a 781   = wceq 992   ∈ wcel 994  dom cdm 3251  –→wf 3259   ‘cfv 3263  (class class class)co 4021  ℂcc 5386  ∗ccj 6950   ℋ chil 9063   ·_ih csp 9068  adj_hcado 9099

This theorem is referenced by:  adjadj 10140  adjvalval 10141  adjlnop 10298  adjmul 10304  adjadd 10305  adjcoi 10312  nmopcoadji 10313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770  ax-hilex 9144  ax-hfvadd 9145  ax-hvcom 9146  ax-hvass 9147  ax-hv0cl 9148  ax-hvaddid 9149  ax-hfvmul 9150  ax-hvmulid 9151  ax-hvdistr2 9154  ax-hvmul0 9155  ax-hfi 9222  ax-his1 9225  ax-his2 9226  ax-his3 9227  ax-his4 9228

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-map 4465  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954  df-hvsub 9115  df-adjh 10055

Copyright terms: Public domain