Theorem adjeq0 10026

Description: An operator is zero iff its adjoint is zero. Theorem 3.11(i) of [Beran] p. 106.

Assertion

Ref	Expression
adjeq0	⊢ (T = 0hop ↔ (adjh ‘T) = 0hop )

Proof of Theorem adjeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3731	. . 3 ⊢ (T = 0hop → (adjh ‘T) = (adjh ‘ 0hop ))
2		adj0 9921	. . 3 ⊢ (adjh ‘ 0hop ) = 0hop
3	1, 2	syl6eq 1526	. 2 ⊢ (T = 0hop → (adjh ‘T) = 0hop )
4		fveq2 3731	. . 3 ⊢ ((adjh ‘T) = 0hop → (adjh ‘(adjh ‘T)) = (adjh ‘ 0hop ))
5		bdopssadj 10016	. . . . . . 7 ⊢ BndLinOp ⊆ dom adjh
6		0bdop 9920	. . . . . . 7 ⊢ 0hop ∈ BndLinOp
7	5, 6	sselii 2070	. . . . . 6 ⊢ 0hop ∈ dom adjh
8		eleq1 1537	. . . . . 6 ⊢ ((adjh ‘T) = 0hop → ((adjh ‘T) ∈ dom adjh ↔ 0hop ∈ dom adjh))
9	7, 8	mpbiri 194	. . . . 5 ⊢ ((adjh ‘T) = 0hop → (adjh ‘T) ∈ dom adjh)
10		dmadjrnb 9832	. . . . 5 ⊢ (T ∈ dom adjh ↔ (adjh ‘T) ∈ dom adjh)
11	9, 10	sylibr 200	. . . 4 ⊢ ((adjh ‘T) = 0hop → T ∈ dom adjh)
12		adjadjt 9862	. . . 4 ⊢ (T ∈ dom adjh → (adjh ‘(adjh ‘T)) = T)
13	11, 12	syl 10	. . 3 ⊢ ((adjh ‘T) = 0hop → (adjh ‘(adjh ‘T)) = T)
14	2	a1i 8	. . 3 ⊢ ((adjh ‘T) = 0hop → (adjh ‘ 0hop ) = 0hop )
15	4, 13, 14	3eqtr3d 1518	. 2 ⊢ ((adjh ‘T) = 0hop → T = 0hop )
16	3, 15	impbi 157	1 ⊢ (T = 0hop ↔ (adjh ‘T) = 0hop )

Syntax hints:   ↔ wb 146   = wceq 958   ∈ wcel 960  dom cdm 3177   ‘cfv 3189   0_hop ch0o 8814  BndLinOpcbo 8819  adj_hcado 8826

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-reg 4609  ax-inf2 4641  ax-ac 4761  ax-hilex 8871  ax-hfvadd 8872  ax-hvcom 8873  ax-hvass 8874  ax-hv0cl 8875  ax-hvaddid 8876  ax-hfvmul 8877  ax-hvmulid 8878  ax-hvmulass 8879  ax-hvdistr1 8880  ax-hvdistr2 8881  ax-hvmul0 8882  ax-hfi 8948  ax-his1 8951  ax-his2 8952  ax-his3 8953  ax-his4 8954  ax-hcompl 9073

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-iin 2574  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-map 4331  df-en 4375  df-dom 4376  df-sdom 4377  df-sup 4590  df-r1 4660  df-rank 4661  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-lt 5266  df-sub 5375  df-neg 5377  df-pnf 5506  df-mnf 5507  df-xr 5508  df-ltxr 5509  df-le 5510  df-div 5722  df-n 5934  df-2 5979  df-3 5980  df-4 5981  df-n0 6109  df-z 6145  df-fl 6233  df-q 6264  df-seq1 6316  df-shft 6349  df-ioo 6369  df-uz 6426  df-fz 6476  df-seqz 6541  df-exp 6577  df-sqr 6678  df-re 6759  df-im 6760  df-cj 6761  df-abs 6762  df-clim 6982  df-sum 6987  df-top 7601  df-bases 7603  df-topgen 7604  df-cld 7667  df-ntr 7668  df-cls 7669  df-cn 7758  df-cnp 7759  df-haus 7786  df-met 7797  df-bl 7799  df-opn 7800  df-lm 7926  df-grp 8041  df-gid 8042  df-ginv 8043  df-gdiv 8044  df-abl 8103  df-vc 8168  df-nv 8214  df-va 8217  df-ba 8218  df-sm 8219  df-0v 8220  df-vs 8221  df-nm 8222  df-ims 8223  df-ip 8353  df-ph 8475  df-hnorm 8839  df-hvsub 8842  df-hlim 8843  df-hcau 8844  df-sh 9078  df-ch 9094  df-oc 9126  df-ch0 9127  df-pj 9239  df-h0op 9676  df-nmop 9767  df-cnop 9768  df-lnop 9769  df-bdop 9770  df-unop 9771  df-hmop 9772  df-nmfn 9773  df-nlfn 9774  df-cnfn 9775  df-lnfn 9776  df-adjh 9777

Copyright terms: Public domain